Lemma di Riemann-Lebesgue

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Il lemma di Riemann-Lebesgue afferma che l'integrale della trasformata di una funzione tende ad annullarsi al crescere del numero di oscillazioni della funzione.

In matematica, in particolare nell'analisi armonica, il lemma di Riemann-Lebesgue, il cui nome è dovuto a Bernhard Riemann e Henri Lebesgue, è un teorema che afferma che la trasformata di Fourier o Laplace di una funzione integrabile si annulla all'infinito.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia f:\R \to \C una funzione misurabile. Se f è sommabile allora:

\int^\infty_{-\infty} f(x) e^{-izx}\,dx \rightarrow 0\text{ per } z\rightarrow \pm\infty

La trasformata di Fourier di f tende quindi a 0 per valori infiniti di z.

Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido in diverse situazioni, riportate nel seguito.

  • Se f è in L^1 e definita in (0,\infty), allora il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Laplace f:
\int_0^\infty f(t) e^{-tz}\,dt \to 0
per |z| \to \infty all'interno del semipiano \Im(z) \ge 0.
  • Se f è in L^1 e definita su un intervallo limitato, allora i coefficienti di Fourier di f tendono a 0 per n \to \pm \infty. Questo fatto si ottiene estendendo f alla funzione nulla al di fuori dell'intervallo, ed applicando il lemma sull'intero asse reale.
  • Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Fourier in più dimensioni. Se f \in L^1(\R^n), allora:
\hat{f}(\xi)\to 0\text{ per } |\xi|\rightarrow \infty
dove \hat{f} è la trasformata di Fourier:
\hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il caso monodimensionale, da cui segue senza difficoltà il caso in dimensione arbitraria, e sia f una funzione liscia a supporto compatto. Integrando per parti in ogni variabile:

 \left| \int f(x) e^{-izx}dx\right|=\left|\int \frac{1}{iz} f'(x)e^{-izx}dx\right| \leq \frac{1}{|z|}\int|f'(x)|dx  \rightarrow 0 \mbox{ per} \ z\rightarrow\pm\infty

Se f è una funzione integrabile qualsiasi, può essere approssimata in L^1 da una funzione liscia a supporto compatto g tale che \| f - g \|_{L^1} < \varepsilon. Si ha allora:

 \limsup_{z\rightarrow\pm\infty} |\hat{f}(z)| \leq  \limsup_{z\to\pm\infty}  \left|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}dx\right| + \limsup_{z\rightarrow\pm\infty}  \left|\int g(x)e^{-ixz}dx\right| \leq \varepsilon+0=\varepsilon

e dal momento che questo vale per ogni \varepsilon > 0 segue la tesi.

Nel caso in cui t \in \C, si supponga che f sia a supporto compatto su (0,\infty) e che sia differenziabile con continuità. Dette F e G le trasformate (di Fourier o Laplace) rispettivamente di f e f', per le proprietà della trasformata si ha F(t)=G(t)/t, da cui F(z)\rightarrow 0 per |t|\rightarrow\infty. Poiché la funzione in tale forma è densa in L^1(0,\infty), ciò vale per ogni scelta di f.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Bochner S, Chandrasekharan K., Fourier Transforms, Princeton University Press, 1949.
  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1101, 2000.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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