Teorema di Plancherel

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In matematica, in particolare in analisi armonica, il teorema di Plancherel permette di definire la trasformata di Fourier a funzioni che appartengono all'intersezione dello spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue, denotato con L^1, e lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile, denotato con L^2. In particolare, l'applicazione che associa ad una funzione la sua trasformata, che appartiene ad L^2, è un'isometria da  L^1 \cap L^2 in L^2 che può essere estesa in maniera unica ad un'isometria da L^2 in sé.

Il teorema, provato per primo da Michel Plancherel, è valido nella versione astratta e sui gruppi abeliani localmente compatti. In maniera più generale, esiste una versione del teorema che ha senso per i gruppi non commutativi (non abeliani) localmente compatti che soddisfano determinate condizioni iniziali, ed è un problema dell'analisi armonica non commutativa.

Un caso particolare di questo teorema è il teorema di Parseval, nonostante quest'ultimo termine sia spesso utilizzato per descrivere l'unitarietà di ogni trasformata di Fourier, in particolar modo in fisica e in ingegneria.[1]

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Plancherel afferma che è possibile associare ad ogni funzione f di L^2 una funzione \hat f di L^2 tale da soddisfare le seguenti proprietà:[2]

\| \hat f \|_2 = \| f \|_2
\phi_A(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-A}^A f(x)e^{-ixt}\,dx
e se:
\psi_A(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{ixt}\,dt
allora:
\lim_{A \to \infty} \|\phi_A - \hat{f}\|_2 = 0 \qquad \lim_{A \to \infty} \|\psi_A - f \|_2 = 0

Dal momento che L^1 \cap L^2 è denso in L^2, le prime due proprietà implicano che l'applicazione f \to \hat f è unica, mentre l'ultima è detta anche teorema di inversione di L^2.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298-335.
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 187

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341.
  • Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298-335.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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