Correlazione incrociata

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In teoria dei segnali la correlazione incrociata (detta anche correlazione mutua o cross-correlazione) rappresenta la misura di similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento o traslazione temporale applicata ad uno di essi.

Definizione intuitiva[modifica | modifica sorgente]

Considerando due segnali a valori reali x e y che differiscono solamente per uno spostamento sull'asse t, si può calcolare la correlazione incrociata per mostrare di quanto y deve essere anticipato per renderlo identico ad x. La formula essenzialmente anticipa il segnale y lungo l'asse t, calcolando l'integrale del prodotto per ogni possibile valore dello spostamento. Quando i due segnali coincidono, il valore di (x\star y) è massimizzato, poiché quando le forme d'onda sono allineate, esse contribuiscono solo positivamente al computo dell'area.

Con segnali complessi x e y, prendere il coniugato di x assicura che le forme d'onda allineate con componenti immaginarie contribuiscano positivamente al computo dell'integrale.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Per due segnali di energia finita x ed y la correlazione incrociata è definita come:

R_{xy}(t)=(x \star y)(t)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} x^*(\tau)\ y(t+\tau)\,d\tau

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per due sequenze tempo-discreto, la correlazione incrociata è definita come:

R_{xy}[n]=(x \star y)[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x^*[m]\ y[n+m]

Similmente, nel caso di segnali di potenza, si può scrivere:

R_{xy}(t)=(x \star y)(t)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x^*(\tau)\ y(t+\tau)\,d\tau

e per sequenze di potenza:

R_{xy}[n]=(x \star y)[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{m=-N}^{N} x^*[m]\ y[n+m]

La correlazione incrociata è simile per natura alla convoluzione tra due segnali. A differenza della convoluzione, che comporta l'inversione temporale di un segnale e poi lo spostamento ed il prodotto per un altro segnale, la correlazione comporta solamente lo spostamento ed il prodotto.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • La correlazione incrociata dei segnali x(t) e y(t) è equivalente alla convoluzione di x *(−t) e y(t):
x\star y = (t \mapsto x^*(-t))*y.
\mathcal{F}\{x \star y\}=(\mathcal{F}\{x\})^* \cdot \mathcal{F}\{y\},

in cui \mathcal{F} denota la trasformata di Fourier.

  • La correlazione incrociata della convoluzione tra x e z con una funzione y è la convoluzione della correlazione di x e y con il nucleo z:
(x * z) \star y = z(-)*(x \star y)

Autocorrelazione[modifica | modifica sorgente]

Un'autocorrelazione è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso,

Per un segnale di energia finita x l'autocorrelazione è definita come:

R_{x}(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} x^*(\tau)\ x(t+\tau)\,d\tau

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per una sequenza tempo-discreto, l'autocorrelazione è definita come:

R_{x}[n] \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x^*[m]\ x[n+m]

Similmente, nel caso di segnali a potenza finita, si può scrivere:

R_{x}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x^*(\tau)\ x(t+\tau)\,d\tau

e per sequenze di potenza finita:

R_{x}[n]\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{m=-N}^{N} x^*[m]\ x[n+m]

Il suo utilizzo ad esempio è quello di verificare eventuali pattern di periodicità del segnale x(t), in tal caso infatti anche la correlazione presenta periodicità pari ad un certo valore del parametro di traslazione.

Proprietà dell'autocorrelazione[modifica | modifica sorgente]

  • L'autocorrelazione ha sempre un picco nell'origine.
  • L'autocorrelazione di un segnale è una funzione a simmetria hermitiana,
  • L'autocorrelazione di un segnale interamente reale è pari in quanto la simmetria hermitiana differisce dalla parità per il coniugato, ma esso sui reali coincide con il numero stesso.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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