Funzione di densità di probabilità

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In matematica, una funzione di densità di probabilità (o pdf dall'inglese probability density function) rappresenta la distribuzione di probabilità in termini integrali. Informalmente, una funzione densità di probabilità può essere vista come versione continua di un istogramma.

Formalmente, una variabile casuale $X$ ha densità $p X (x)$ se $p X (x)$ è una funzione non negativa, integrabile secondo Lebesgue, reale di variabile reale, tale che la probabilità dell'insieme A è data da

$P(X \in A)=\int_A p_X(x)\,dx$

per tutti i sottinsiemi A dello spazio campionario. Questo implica che l'integrale su tutto lo spazio di $p X (x)$ deve essere 1. Di conseguenza ogni funzione non negativa, integrabile secondo Lebesgue, con integrale su tutto lo spazio uguale a 1, è la funzione densità di probabilità di una ben definita distribuzione di probabilità. Una variabile casuale che possiede densità si dice "variabile casuale continua".

Intuitivamente, se una distribuzione di probabilità ha densità $p X (x)$ , allora l'intervallo $[x, x + d x]$ ha probabilità $p_X(x)\,dx$ .

Per le variabili casuali multivariate (o vettoriali) la trattazione formale è assolutamente identica: $(X_1,\ldots,X_n)$ si dice assolutamente continua se esiste una funzione a valori reali definita in $\R^n$ , detta densità congiunta, tale che per ogni sottoinsieme A dello spazio campionario

$P(X \in A)=\int_A p_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n$

Essa conserva tutte le proprietà di una densità scalare: è una funzione non negativa a integrale unitario su tutto lo spazio. Una proprietà importante è che se $(X_1,\ldots,X_n)$ è assolutamente continua allora lo è ogni sua componente; il viceversa invece non vale. La densità di una componente, detta densità marginale, si ottiene con un ragionamento analogo al teorema della probabilità assoluta, cioè fissando l'insieme di suoi valori di cui si vuole determinare la probabilità e lasciando libere di variare tutte le altre componenti. Infatti (nel caso bivariato per semplicità) l'evento $(X \in A)$ è l'evento $(X \in A, Y \in \R)$ , dunque

$P(X \in A)=\int_{A \times \R}p_{X,Y}(x,y)dxdy = \int_A \left( \int_{\R}p_{X,Y}(x,y)dy \right) dx$

utilizzando il teorema di Fubini. La densità marginale di X è data dunque da $p_X(x)=\int_{\R}p_{X,Y}(x,y)dy$ .

[modifica] Esempio

La funzione di densità della variabile casuale normale di media 0 e varianza 1 (detta normale standard), di cui è sotto riportato il grafico e l'espressione analitica della corrispondente densità nel caso generico (media $μ$ e varianza $σ 2$ ).