Distribuzione geometrica

Distribuzione geometrica $\mathcal{G}(q)$
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	$q \in ]0,1[$$p=1-q\$
Supporto	$\mathbb{N}_0= \{0,1,2,...\}$
Funzione di densità	$pq^{k}\$
Funzione di ripartizione	$1-q^{k+1}\$
Valore atteso	$\frac{q}{p}$
Mediana	$[\log_q\tfrac{1}{2}]$ se $\log_q\tfrac{1}{2}\not\in\mathbb{N}$
Moda	$0\$
Varianza	$\frac{q}{p^2}$
Skewness	$\frac{1+q}{\sqrt{q}}\$
Curtosi	$6+\frac{p^2}{q}$
Entropia	$-\log p -\frac{q}{p}\log q$
Funz. Gen. dei Momenti	$\frac{p}{1-qe^t}$
Funz. Caratteristica	$\frac{pe^{it}}{1-qe^{it}}$

In teoria della probabilità la distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri naturali (con l'elemento "0") che segue una progressione geometrica:

$P(T=k)=p q^{k-1}\$

È la probabilità che il primo successo (o evento in generale) richieda l' esecuzione di k prove indipendenti, ognuna di probabilità di successo p.  Se la probabilità di successo di ogni prova è p, allora la probabilità che alla kesima prova (dopo k prove) si ottenga il primo successo è

$\Pr(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p\,$

con k = 1, 2, 3, ....

La formula qui sopra è usata per modellizzare il numero di tentativi fino ad ottenere il primo successo. Qui sotto invece si cerca il numero di fallimenti fino al primo successo:

$\Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,$

per k = 0, 1, 2, 3, ....

In entrambi i casi, la sequenza di probabilità è una serie geometrica.

Definizione

La distribuzione geometrica $\mathcal{G}(q)$ è la distribuzione di probabilità sui numeri naturali della forma

$P(k)=pq^{k-1}$, con $q=1-p$

dove q indica la probabilità di insuccesso. Il parametro $q=1-p$ si ricava da

$1=P(\mathbb{N}^+)=\sum_{k\geqslant0}p q^{k}=p \frac{1}{1-q}$.

E ricordando la definizione di q si ottiene 1. Questo risultato è di fondamentale importanza: significa che per quanto sia piccola la probabilità che un evento accada, in un processo di Bernoulli questo prima o poi accadrà (questo si ricollega al Teorema della scimmia instancabile

A volte lo zero viene escluso dal supporto: se T ha distribuzione geometrica sopra descritta, la distribuzione di X =T+1 sarà $P(k)=pq^{k-1}$ e le altre funzioni saranno modificate di conseguenza. Nell'esempio citato sopra, X sarebbe il numero di estrazioni da fare perché esca un numero fissato.

Processo di Bernoulli

La distribuzione geometrica di parametro q descrive anche il numero T di fallimenti che precedono il primo successo in un processo di Bernoulli $\{X_i\}_i$di parametro p=1-q:

$P(T=k)=P(X_1=0)\cdots P(X_k=0)P(X_{k+1}=1)=q^kp\$

Caratteristiche

Una variabile aleatoria T con distribuzione geometrica di parametro q e avente come supporto i numeri naturali incluso il numero 0 ha

• funzione di probabilità

$P(T=k)= pq^{k-1}$

• funzione di ripartizione

$P(T\leqslant k)=1-P(T\geqslant k+1)=1-q^{k+1}$

• valore atteso

$E[T] = \sum_k kpq^{k} = \frac{1}{p}$

• varianza

$\text{Var}(T)\ =\ E[T^2]-E[T]^2\ =\ \frac{q}{p^2}$

• funzione generatrice dei momenti $g(T,t)\ =\ E[e^{tT}]\ =\ p\sum_kq^ke^{kt}=\frac{p}{1-qe^t}$ (nella tabella c'è altro) ->
• funzione caratteristica $\phi_T(t)\ = \ E[e^{itT}]\ =\ \frac{pe^{it}}{1-qe^{it}}$

I quantili si ricavano dalla funzione di ripartizione:

• se $n=\log_q(1-\alpha)$ è un numero intero ($q=\sqrt[n]{1-\alpha}$) allora $F(n-1)=\alpha$ e $q_\alpha\in[n-1,n]$;
• se invece $\log_q(1-\alpha)$ non è intero, allora $q_\alpha=[\log_q(1-\alpha)]$ (parte intera).

In particolare la mediana è

$q_{1/2}\in[n-1,n]$ se $q=\sqrt[n]{\tfrac{1}{2}}$ con $n$ intero,

$q_{1/2}=[\log_q\tfrac{1}{2}]$ altrimenti.

Assenza di memoria

La distribuzione geometrica è priva di memoria, ovvero

$P(T=m+n|T>m)=P(T=n)\$

ed è l'unica distribuzione di probabilità discreta con questa proprietà.

L'indipendenza delle prove in un processo di Bernoulli implica l'assenza di memoria della distribuzione geometrica. D'altro canto, ogni variabile aleatoria T a supporto sui numeri naturali e priva di memoria rispetta

$P(T=n)=P(T=n+1|T>1)=\frac{P(T=n+1)}{P(T>1)}$

pertanto ha una distribuzione di probabilità geometrica di parametro $P(T>1)$.

Generalizzazioni

Una generalizzazione della distribuzione geometrica è la distribuzione di Pascal (o distribuzione binomiale negativa), che descrive il numero di fallimenti precedenti il successo r-esimo in un processo di Bernoulli.

Un'ulteriore generalizzazione della distribuzione di Pascal è la distribuzione di Panjer che, come la distribuzione geometrica, definisce le probabilità per ricorsione.

Esempi

La probabilità che un dado (equilibrato, a 6 facce) debba venire lanciato esattamente 10 volte prima di fornire un "4" è data dalla distribuzione geometrica. Il lancio del dado può essere considerato un processo di Bernoulli, in cui ogni prova X_i ha probabilità p=1/6 di fornire "4" (successo) e q=5/6 di fornire un altro numero (fallimento). La probabilità cercata è quindi

$\textstyle P(T=10)\ =\ \frac{1}{6}(\frac{5}{6})^9\ =\ 0,032...$

La probabilità che dopo 10 lanci sia uscito almeno un "4" è invece

$\textstyle P(T\leqslant 10)\ =\ 1-(\frac{5}{6})^{10}\ =\ 0,838...$

La probabilità che al decimo lancio si ottenga un "4" dopo che per 9 lanci questo numero non è mai stato ottenuto è facilmente calcolabile grazie alla mancanza di memoria

$\textstyle P(T=10|T>9)\ =\ P(T=1)\ =\ \frac{1}{6}\ =\ 0,166...$

Voci correlate

• Distribuzione di Bernoulli
• Distribuzione di Panjer
• Distribuzione di Pascal
• Distribuzione di probabilità
• Mancanza di memoria
• Processo di Bernoulli
• Variabile aleatoria

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