Normalizzazione (matematica)

La normalizzazione in matematica consiste nel dividere tutti i termini di un'espressione per uno stesso fattore.

Normalizzazione in uno spazio vettoriale

In uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e di norma si chiama normalizzazione il procedimento che dato un vettore lo porta ad avere norma unitaria.

Una situazione comune in cui si utilizza questo procedimento è nella costruzione di una base ortonormale (o sistema ortonormale, s.o.n.) dello spazio vettoriale. Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale di dimensione n e di conoscere già una base completa di vettori che siano tra loro ortogonali; siamo cioè nel caso in cui gli n vettori componenti dell'insieme

$B_{O}\ = \big\{ b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n} \big\}$

costituiscono una base ortogonale.

Per ottenere una base ortonormale, basta prendere singolarmente ciascuno di questi n vettori e dividerli ciascuno per il valore della propria norma (si noti che si tratta di una divisione per uno scalare, perché la norma di un vettore è uno scalare).

$u_{i} = \frac {b_{i}}{\left \|b_{i} \right \|} \ \ \ i=1, 2, \dots n$

ognuno dei vettori $u_{i}$ così ottenuti avrà norma unitaria (sarà quindi anche un versore). Inoltre ognuno di questi vettori saranno tra loro ortogonali. Pertanto l'insieme

$B_{u}\ = \big\{u_{1}, u_{2}, \ldots u_{n} \big\}$

costituisce una base ortonormale dello spazio vettoriale normato.

Applicazioni

Trigonometria

In trigonometria la normalizzazione è un metodo per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno, chiamato anche metodo dell'angolo aggiunto. Per risolvere un'equazione del tipo:

$a\sin x + b \cos x + c=0$

Si dividono entrambi i membri per $\sqrt{a^2 + b^2}$

Questa quantità è diversa da zero, a meno che sia a e b siano nulli, nel qual caso l'equazione di partenza degenera nel caso banale $c=0$

Si ottiene:

$\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x + \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}=0$

Notiamo ora che i due coefficienti $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ e $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ sono entrambi, in modulo, minori di 1, e inoltre la somma dei loro quadrati è 1; pertanto essi possono essere considerati come seno e coseno di uno stesso angolo $\phi$. Si ha quindi:

$cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Ora l'equazione iniziale diventa:

$cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x + \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}=0 \longrightarrow \sin(x+\varphi) = - \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Da questa equazione si può ora facilmente determinare il valore dell'angolo $(x+\phi)$, e poiché il valore dell'angolo $\varphi$ è noto, si può facilmente ricavare anche l'angolo incognito x.

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