Normalizzazione (matematica)

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In matematica per normalizzazione si intende il procedimento di dividere tutti i termini di un'espressione per uno stesso fattore in modo che l'espressione risultante abbia una certa norma pari a 1.

Normalizzazione in uno spazio vettoriale[modifica | modifica sorgente]

In uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e di norma si chiama normalizzazione il procedimento che dato un vettore lo porta ad avere norma unitaria.

Una situazione comune in cui si utilizza questo procedimento è nella costruzione di una base ortonormale (o sistema ortonormale, s.o.n.) dello spazio vettoriale. Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale di dimensione n e di conoscere già una base completa di vettori che siano tra loro ortogonali; siamo cioè nel caso in cui gli n vettori componenti dell'insieme

B_{O}\ = \big\{ b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n} \big\}

costituiscono una base ortogonale.

Per ottenere una base ortonormale, basta prendere singolarmente ciascuno di questi n vettori e dividerli ciascuno per il valore della propria norma (si noti che si tratta di una divisione per uno scalare, perché la norma di un vettore è uno scalare).

u_{i} = \frac {b_{i}}{\left \|b_{i} \right \|} \ \ \ i=1, 2, \dots n

ognuno dei vettori u_{i} così ottenuti avrà norma unitaria (sarà quindi anche un versore). Inoltre ognuno di questi vettori saranno tra loro ortogonali. Pertanto l'insieme

B_{u}\ = \big\{u_{1}, u_{2}, \ldots u_{n} \big\}

costituisce una base ortonormale dello spazio vettoriale normato.

Probabilità[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili di variabile reale è dotato di una seminorma; procedendo come sopra, è possibile normalizzare qualunque tra queste funzioni abbia seminorma non nulla.

In particolare, una funzione f di variabile reale, integrabile, sempre positiva (o sempre negativa), con integrale non nullo,

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=a>0

può essere riscalata per a, dando origine ad una funzione di densità di probabilità g(x)=\frac{1}{a}f(x)\geq0

\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1

Questo è un caso particolare di una misura di probabilità ottenuta normalizzando la misura di uno spazio misurabile, con la condizione che lo spazio stesso abbia misura finita e non nulla.

Un esempio nel calcolo delle probabilità è la probabilità condizionata da un evento B, di probabilità non nulla (è certamente finita): questa è ottenuta restringendo lo spazio degli eventi a B e normalizzando la misura.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Trigonometria[modifica | modifica sorgente]

In trigonometria la normalizzazione è un metodo per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno, chiamato anche metodo dell'angolo aggiunto. Per risolvere un'equazione del tipo:

a\sin x + b \cos x + c=0

Si dividono entrambi i membri per \sqrt{a^2 + b^2}

Questa quantità è diversa da zero, a meno che sia a e b siano nulli, nel qual caso l'equazione di partenza degenera nel caso banale c=0

Si ottiene:

\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x + \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}=0

Notiamo ora che i due coefficienti \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} e \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} sono entrambi, in modulo, minori di 1, e inoltre la somma dei loro quadrati è 1; pertanto essi possono essere considerati come seno e coseno di uno stesso angolo \phi. Si ha quindi:

cos  \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}

\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Ora l'equazione iniziale diventa:

cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x + \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}=0 \longrightarrow \sin(x+\varphi) = - \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Da questa equazione si può ora facilmente determinare il valore dell'angolo (x+\varphi), e poiché il valore dell'angolo \varphi è noto, si può facilmente ricavare anche l'angolo incognito x.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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