Distribuzione normale multivariata

Funzione di densità di una normale multivariata

In teoria della probabilità e statistica, la distribuzione normale multivariata o distribuzione gaussiana multivariata o vettore gaussiano è una generalizzazione della distribuzione normale a dimensioni più elevate. Un vettore di variabili aleatorie ha una distribuzione normale multivariata se ogni combinazione lineare delle sue componenti ha distribuzione normale.

Notazione

La distribuzione normale multivariata di un vettore di variabili aleatorie k-dimensionale X = [X₁, X₂, …, X_k] viene indicata con la seguente notazione:

$X\ \sim\ \mathcal{N}(\mu,\, \Sigma),$

oppure, per esplicitare la dimensione del vettore:

$X\ \sim\ \mathcal{N}_k(\mu,\, \Sigma).$

Il vettore della media è

$\mu = [ \operatorname{E}[X_1], \operatorname{E}[X_2], \ldots, \operatorname{E}[X_k]]$

e la matrice di covarianza k x k

$\Sigma = [\operatorname{Cov}[X_i, X_j]]_{i=1,2,\ldots,k; j=1,2,\ldots,k}$

Definizione

Si dice che un vettore di variabili aleatorie $X=(X_1,X_2,...X_n)$ ha densità multivariata normale se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:

• Ogni su combinazione lineare $Y=a_1 X_1 + ... + a_n X_n$ ha distribuzione normale.
• Esistono un vettore Z di variabili aleatorie di dimensione ℓ le cui componenti sono indipendenti e hanno distribuzione normale standard, un vettore aleatorio μ di dimensione k e una matrice A k×ℓ tali che $X=AZ + \mu$
• Esiste un vettore μ di dimensione k e una matrice semidefinita positiva $\Sigma$ tali che la funzione caratteristica di X sia

$\varphi_X(u) = \exp\Big( iu'\mu - \tfrac{1}{2} u'\Sigma u \Big)$

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