Distribuzione di Poisson

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Distribuzione di Poisson \mathcal{P}(\lambda)
Funzione di distribuzione discreta
Distribuzione di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri \lambda>0\
Supporto \mathbb{N}
Funzione di densità e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}
Funzione di ripartizione \frac{\Gamma(n+1, \lambda)}{n!}

(dove \Gamma(x, y) è la funzione gamma incompleta)

Valore atteso \lambda\
Mediana circa \left[\lambda+\frac{1}{3}-\frac{1}{50\lambda}\right]
Moda [\lambda]\
sia \lambda che \lambda-1 se \lambda\in\mathbb{N}
Varianza \lambda
Indice di asimmetria \frac{1}{\sqrt{\lambda}}
Curtosi \frac{1}{\lambda}
Entropia \lambda-\lambda\log\lambda+e^{-\lambda}\sum\frac{\lambda^n\log(n!)}{n!}
Funzione generatrice dei momenti e^{\lambda (e^t-1)}
Funzione caratteristica e^{\lambda (e^{it}-1)}

In teoria delle probabilità la distribuzione di Poisson (o poissoniana) è una distribuzione di probabilità discreta che esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, sapendo che mediamente se ne verifica un numero \lambda. Ad esempio, si utilizza una distribuzione di Poisson per misurare il numero di chiamate ricevute in un call-center in un determinato arco temporale, come una mattinata lavorativa. Questa distribuzione è anche nota come legge degli eventi rari.

Prende il nome dal matematico francese Siméon-Denis Poisson.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione di Poisson \mathcal{P}(n) è

P(n)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!} per ogni n\in\mathbb{N},

dove \lambda è il numero medio di eventi per intervallo di tempo, mentre n è il numero di eventi per intervallo di tempo (lo stesso col quale si misura \lambda) di cui si vuole la probabilità.

Dallo sviluppo in serie dell'esponenziale e^\lambda=\sum\frac{\lambda^n}{n!} si trova P(\mathbb{N})=1.

Convergenza[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione di Poisson può essere ottenuta come limite delle distribuzioni binomiali \mathcal{B}(p,n), con \lambda=pn, ovvero si ha una convergenza in legge di \mathcal{B}(\lambda/n,n) a \mathcal{P}(\lambda). Per questa convergenza la distribuzione di Poisson è anche nota come legge (di probabilità) degli eventi rari.

In statistica si adotta l'approssimazione della distribuzione binomiale tramite la distribuzione di Poisson quando n>20 e p<1/20, o preferibilmente quando n>100 e np<10.

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

Una variabile aleatoria Y di distribuzione di Poisson ha

E[Y]=\sum ne^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}=\lambda e^{-\lambda}\sum\frac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}=\lambda
\text{Var}(Y)=E[Y^2]-E[Y]^2=\sum n^2e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}-\lambda^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda
g(t,Y)=E[e^{tY}]=e^{-\lambda}\sum\frac{\lambda^n e^{tn}}{n!}=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}=e^{\lambda(e^t-1)}
\gamma_1=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}, \gamma_2=\frac{1}{\lambda}
\lambda-\lambda\log\lambda+e^{-\lambda}\sum\frac{\lambda^n\log(n!)}{n!}

che ha un andamento \frac{1+\log(2\pi)}{2}\ +\ \frac{1}{2}\log\lambda\ -\ \frac{1}{12}\lambda^{-1}\ -\ \frac{1}{24} \lambda^{-2}\ -\ \frac{19}{360} \lambda^{-3}\ +\ O(\lambda^{-4})

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Se Y1 e Y2 sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri \lambda_1 e \lambda_2 rispettivamente, allora

Più in generale, la somma Y=Y_1+...+Y_n di n variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri \lambda_1,...,\lambda_n segue una distribuzione di Poisson di parametro \lambda=\lambda_1+...+\lambda_n, mentre la distribuzione di Y1 condizionata da Y=n è la distribuzione binomiale di parametri \lambda_1/\lambda e n.

Distribuzioni collegate[modifica | modifica sorgente]

Se la distribuzione di Poisson di parametro \lambda descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo, il tempo di attesa tra due eventi successivi è descritto dalla distribuzione esponenziale di parametro \lambda.

La distribuzione di Skellam è definita come la distribuzione della differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzioni di Poisson.

La mistura di distribuzioni tra la distribuzione di Poisson e la distribuzione Gamma (che governa il parametro \lambda) è la distribuzione di Pascal, che talvolta è anche detta Gamma-Poisson.

La distribuzione di Panjer, definita per ricorsione, generalizza la distribuzione di Poisson: P(n)=\frac{\lambda}{n}P(n-1).

Statistica[modifica | modifica sorgente]

Approssimazioni[modifica | modifica sorgente]

Per \lambda>1000 una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson \mathcal{P}(\lambda) viene solitamente approssimata con la distribuzione normale \mathcal{N}(\lambda,\lambda); per parametri più piccoli (\lambda>10) sono invece necessarie delle correzioni di continuità, legate ai diversi domini delle due distribuzioni (una discreta, una continua).

La radice quadrata di una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson è approssimata da una distribuzione normale meglio di quanto lo sia la variabile stessa.

Il parametro \lambda può essere stimato come la media delle osservazioni effettuate. Questo stimatore è privo di bias, ovvero ha come valore atteso \lambda stesso.

Inferenza bayesiana[modifica | modifica sorgente]

Se il parametro \lambda di una distribuzione di Poisson distribuito a priori secondo la distribuzione Gamma, allora lo è anche a posteriori dell'osservazione Y=y.

Intervallo di confidenza per la media[modifica | modifica sorgente]

Un criterio rapido per il calcolo approssimato dell'intervallo di confidenza della media campionaria è fornito in Guerriero (2012). Dato un numero k di eventi (almeno 15-20 per un'approssimazione soddisfacente) registrati in un certo intervallo di tempo - o di lunghezza, volume etc. -, i limiti dell'intervallo di confidenza per il parametro λ sono dati da:

 \lambda_{low}=(1-\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) {k}
 \lambda_{upp}=(1+\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) {k}

Storia[modifica | modifica sorgente]

Questa distribuzione fu introdotta da Siméon-Denis Poisson nel 1838 nel suo articolo "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile"[1].

Secondo alcuni storici questa variabile casuale dovrebbe portare il nome di Ladislaus Bortkiewicz considerati gli studi fatti da questo nel 1898.

In realtà la poissoniana come approssimazione della binomiale era già stata introdotta nel 1718 da Abraham de Moivre in Doctrine des chances.[senza fonte]

Tavole dei valori della funzione di probabilità[modifica | modifica sorgente]

λ = 0,1; 0,2; ... 1,0[modifica | modifica sorgente]

k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679
1 .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3679
2 .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839
3 .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0254 .0383 .0494 .0613
4 .0001 .0003 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153
5 .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031
6 .0001 .0002 .0003 .0005
7 .0001

λ = 1,2; 1,4; ... 3,0[modifica | modifica sorgente]

k 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
0 .3012 .2466 .2019 .1653 .1353 .1108 .0907 .0743 .0608 .0498
1 .3614 .3452 .3230 .2975 .2707 .2438 .2177 .1931 .1703 .1494
2 .2169 .2417 .2584 .2678 .2707 .2681 .2613 .2510 .2384 .2240
3 .0867 .1128 .1378 .1607 .1804 .1966 .2090 .2176 .2225 .2240
4 .0260 .0395 .0551 .0723 .0902 .1082 .1254 .1414 .1557 .1680
5 .0062 .0111 .0176 .0260 .0361 .0476 .0602 .0735 .0872 .1008
6 .0012 .0026 .0047 .0078 .0120 .0174 .0241 .0319 .0407 .0504
7 .0002 .0005 .0011 .0020 .0034 .0055 .0083 .0118 .0163 .0216
8 .0001 .0002 .0005 .0009 .0015 .0025 .0038 .0057 .0081
9 .0001 .0002 .0004 .0007 .0011 .0018 .0027
10 .0001 .0002 .0003 .0005 .0008
11 .0001 .0001 .0002
12 .0002

λ = 3,5; 4,0; ... 8,0[modifica | modifica sorgente]

k 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0
0 .0302 .0183 .0111 .0067 .0041 .0025 .0015 .0009 .0006 .0003
1 .1057 .0733 .0500 .0337 .0225 .0149 .0098 .0064 .0041 .0027
2 .1850 .1465 .1125 .0842 .0618 .0446 .0318 .0223 .0156 .0107
3 .2158 .1954 .1687 .1404 .1133 .0892 .0688 .0521 .0389 .0286
4 .1888 .1954 .1898 .1755 .1558 .1339 .1118 .0912 .0729 .0573
5 .1322 .1563 .1708 .1755 .1714 .1606 .1454 .1277 .1094 .0916
6 .0771 .1042 .1281 .1462 .1571 .1606 .1575 .1490 .1367 .1221
7 .0385 .0595 .0824 .1044 .1234 .1377 .1462 .1490 .1465 .1396
8 .0169 .0298 .0463 .0653 .0849 .1033 .1188 .1304 .1373 .1396
9 .0066 .0132 .0232 .0363 .0519 .0688 .0858 .1014 .1144 .1241
10 .0023 .0053 .0104 .0181 .0285 .0413 .0558 .0710 .0858 .0993
11 .0007 .0019 .0043 .0082 .0143 .0225 .0330 .0452 .0585 .0722
12 .0002 .0006 .0016 .0034 .0065 .0113 .0179 .0263 .0366 .0481
13 .0001 .0002 .0006 .0013 .0028 .0052 .0089 .0142 .0211 .0296
14 .0001 .0002 .0005 .0011 .0022 .0041 .0071 .0113 .0169
15 .0001 .0002 .0004 .0009 .0018 .0033 .0057 .0090
16 .0001 .0003 .0007 .0014 .0026 .0045
17 .0001 .0003 .0006 .0012 .0021
18 .0001 .0002 .0005 .0009
19 .0001 .0002 .0004
20 .0001 .0002
21 .0001

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Jan Gullberg, Mathematics from the birth of numbers, W. W. Norton & Company; p. 963-965. ISBN 0-393-04002-X ISBN 978-0-393-04002-9

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

(EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione di Poisson in MathWorld, Wolfram Research.

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