Distribuzione Gamma

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Distribuzione Gamma
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri k>0\ e \theta>0\
oppure
\alpha>0\ e \beta>0\
(k=\alpha, \theta\beta=1)
Supporto \mathbb{R}^+
Funzione di densità \frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k\Gamma(k)}
(con \Gamma la funzione Gamma)
Funzione di ripartizione P(k,x)=\frac{\gamma(k,x/\theta)}{\Gamma(k)}
(\gamma è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata)
Valore atteso k\theta\
Mediana
Moda (k-1)\theta\ se k\geq 1
Varianza k\theta^2\
Indice di asimmetria \frac{2}{\sqrt{k}}
Curtosi \frac{6}{k}
Entropia k+\log\theta+\log\Gamma(k)+(1-k)\digamma(k)
(con \digamma la funzione digamma)
Funzione generatrice dei momenti (1-\theta t)^{-k}\ per t<\theta^{-1}
Funzione caratteristica (1-i\theta t)^{-k}\

In teoria delle probabilità la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità continua, che descrive anche le distribuzioni esponenziale e chi quadrato.

Viene utilizzata come modello per i tempi di attesa nella teoria delle code. Nella statistica bayesiana è comune come distribuzione a priori e a posteriori.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità definita sui numeri reali non negativi, [0,\infty[. A seconda degli autori, viene parametrizzata in due modi diversi: sia tramite la coppia di numeri positivi (k,\theta), sia tramite la coppia di numeri positivi (\alpha,\beta). Le due parametrizzazioni sono legate dalle relazioni \alpha=k e \beta=1/\theta. Nel seguito si farà riferimento alla parametrizzazione Gamma(k,\theta).

La sua funzione di densità di probabilità è

f(x)=\frac{1}{\theta^k\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},

dove \Gamma(k)=\int_0^\infty t^{k-1}e^{-t}dt è la funzione Gamma. Possiamo osservare che per valori interi di k vale che \Gamma(k)=(k-1)!

La sua funzione di ripartizione è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata

F(x)=P(k,x)=\frac{\gamma(k,x/\theta)}{\Gamma(k)}=\frac{\gamma(\alpha,\beta x)}{\Gamma(\alpha)},

dove \gamma(k,x)=\int_0^x t^{k-1}e^{-t}dt è la funzione Gamma incompleta inferiore.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

I momenti semplici della distribuzione Gamma di parametri (k,\theta) sono \mu_n=E[X^n]=\tfrac{1}{\theta^k\Gamma(k)}\int_0^{\infty}x^{k+n-1}e^{-\frac{x}{\theta}}dx=\theta^n\frac{\Gamma(k+n)}{\Gamma(k)}=\theta^n k(k+1)\cdots(k+n-1), dove X è una variabile aleatoria che segue questa distribuzione e la funzione Gamma ha la proprietà \tfrac{\Gamma(y+1)}{\Gamma(y)}=y.

In particolare la distribuzione ha

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se X segue la distribuzione Gamma(k,\theta) allora aX segue la distribuzione Gamma(k,a\theta).

Se X_1,...X_n sono variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione Gamma(k_i,\theta), allora la loro somma X_1+...+X_n segue la distribuzione Gamma(k_1+...+k_n,\theta).

Altre distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione Gamma generalizza diverse distribuzioni:

Nell'inferenza bayesiana la distribuzione Gamma può descrivere sia a priori che a posteriori di un'osservazione il parametro X di diverse distribuzioni di probabilità, ad esempio della distribuzione esponenziale e della distribuzione di Poisson.

La distribuzione Gamma inversa è la distribuzione dell'inversa X^{-1} di una variabile aleatoria X che segue la distribuzione Gamma.

Se X e Y sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni \Gamma(k_1,\theta) e \Gamma(k_2,\theta), allora Z=\tfrac{X}{X+Y} segue la distribuzione Beta \Beta(k_1,k_2), mentre \tfrac{X}{Y}=\tfrac{Z}{1-Z} segue una distribuzione Beta del secondo tipo.

Più in generale il vettore \tfrac{1}{X_1+...+X_n}(X_1,...,X_n), descritto da n variabili aleatorie indipendenti X_i di distribuzioni Gamma(k_i,\theta), segue una distribuzione di Dirichlet di parametri (k_1,...,k_n).

Una generalizzazione della distribuzione Gamma è la distribuzione di Wishart, che generalizza anche la distribuzione \chi^2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione Gamma in MathWorld, Wolfram Research.

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