Distribuzione Gamma

Distribuzione Gamma
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	$k>0\$ e $\theta>0\$ oppure $\alpha>0\$ e $\beta>0\$ ($k=\alpha$, $\theta\beta=1$)
Supporto	$\mathbb{R}^+$
Funzione di densità	$\frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k\Gamma(k)}$ (con $\Gamma$ la funzione Gamma)
Funzione di ripartizione	$P(k,x)=\frac{\gamma(k,x/\theta)}{\Gamma(k)}$ ($\gamma$ è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata)
Valore atteso	$k\theta\$
Mediana
Moda	$(k-1)\theta\$ se $k\geq 1$
Varianza	$k\theta^2\$
Skewness	$\frac{2}{\sqrt{k}}$
Curtosi	$\frac{6}{k}$
Entropia	$k+\log\theta+\log\Gamma(k)+(1-k)\digamma(k)$ (con $\digamma$ la funzione digamma)
Funz. Gen. dei Momenti	$(1-\theta t)^{-k}\$ per $t<\theta^{-1}$
Funz. Caratteristica	$(1-i\theta t)^{-k}\$

In teoria delle probabilità la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità continua, che descrive anche le distribuzioni esponenziale e chi quadrato.

Viene utilizzata come modello per i tempi di attesa nella teoria delle code. Nella statistica bayesiana è comune come distribuzione a priori e a posteriori.

Definizione

La distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità definita sui numeri reali non negativi, $[0,\infty[$. A seconda degli autori, viene parametrizzata in due modi diversi: sia tramite la coppia di numeri positivi $(k,\theta)$, sia tramite la coppia di numeri positivi $(\alpha,\beta)$. Le due parametrizzazioni sono legate dalle relazioni $\alpha=k$ e $\beta=1/\theta$. Nel seguito si farà riferimento alla parametrizzazione Gamma$(k,\theta)$.

La sua funzione di densità di probabilità è

$f(x)=\frac{1}{\theta^k\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$,

dove $\Gamma(k)=\int_0^\infty t^{k-1}e^{-t}dt$ è la funzione Gamma.

La sua funzione di ripartizione è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata

$F(x)=P(k,x)=\frac{\gamma(k,x/\theta)}{\Gamma(k)}=\frac{\gamma(\alpha,\beta x)}{\Gamma(\alpha)}$,

dove $\gamma(k,x)=\int_0^x t^{k-1}e^{-t}dt$ è la funzione Gamma incompleta inferiore.

Caratteristiche

I momenti semplici della distribuzione Gamma di parametri $(k,\theta)$ sono $\mu_n=E[X^n]=\tfrac{1}{\theta^k\Gamma(k)}\int_0^{\infty}x^{k+n-1}e^{-\frac{x}{\theta}}dx=\theta^n\frac{\Gamma(k+n)}{\Gamma(k)}=\theta^n k(k+1)\cdots(k+n-1)$, dove $X$ è una variabile aleatoria che segue questa distribuzione e la funzione Gamma ha la proprietà $\tfrac{\Gamma(y+1)}{\Gamma(y)}=y$.

In particolare la distribuzione ha

• valore atteso $E[X]=k\theta$,
• varianza $\text{Var}(X)=k\theta^2$,
• indice di asimmetria $\gamma_1=\frac{2}{\sqrt{k}}$
• indice di curtosi $\gamma_2=\frac{6}{k}$

Proprietà

Se $X$ segue la distribuzione Gamma$(k,\theta)$ allora $aX$ segue la distribuzione Gamma$(k,a\theta)$.

Se $X_1,...X_n$ sono variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione Gamma$(k_i,\theta)$, allora la loro somma $X_1+...+X_n$ segue la distribuzione Gamma$(k_1+...+k_n,\theta)$.

Altre distribuzioni

La distribuzione Gamma generalizza diverse distribuzioni:

• se $k$ è un numero naturale si ottiene la distribuzione di Erlang;
• Gamma$(1,\tfrac{1}{\lambda})=\mathcal{E}({\lambda})$ è la distribuzione esponenziale;
• Gamma$(\tfrac{n}{2},2)=\chi^2(n)$ è la distribuzione chi quadrato;
• Gamma$(\tfrac{3}{2},2a^2)$ è la distribuzione di Maxwell-Boltzmann di parametro $a$.

Nell'inferenza bayesiana la distribuzione Gamma può descrivere sia a priori che a posteriori di un'osservazione il parametro $X$ di diverse distribuzioni di probabilità, ad esempio della distribuzione esponenziale e della distribuzione di Poisson.

La distribuzione Gamma inversa è la distribuzione dell'inversa $X^{-1}$ di una variabile aleatoria $X$ che segue la distribuzione Gamma.

Se $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni $\Gamma(k_1,\theta)$ e $\Gamma(k_2,\theta)$, allora $Z=\tfrac{X}{X+Y}$ segue la distribuzione Beta $\Beta(k_1,k_2)$, mentre $\tfrac{X}{Y}=\tfrac{Z}{1-Z}$ segue una distribuzione Beta del secondo tipo.

Più in generale il vettore $\tfrac{1}{X_1+...+X_n}(X_1,...,X_n)$, descritto da $n$ variabili aleatorie indipendenti $X_i$ di distribuzioni Gamma$(k_i,\theta)$, segue una distribuzione di Dirichlet di parametri $(k_1,...,k_n)$.

Una generalizzazione della distribuzione Gamma è la distribuzione di Wishart, che generalizza anche la distribuzione $\chi^2$.

Voci correlate

• Funzione Gamma
• Distribuzione di Erlang

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione Gamma su MathWorld.

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