Probabilità condizionata

In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento A rispetto a un evento B è la probabilità che si verifichi A, sapendo che B è verificato. Questa probabilità, indicata $P(A|B)$ o $P_B(A)$, esprime una "correzione" delle aspettative per A, dettata dall'osservazione di B. (Ha senso solo se B ha una probabilità non nulla di verificarsi.)

Esempio

Per esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un comune dado (evento A) ha probabilità P(A)=1/6 di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento B), la probabilità di A diventa

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) + P(B) - P(A\cup B)}{P(B)} = \frac{1/6 + 3/6 - 3/6}{3/6} = 1/3$.

Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento A) ha probabilità P(A)=1/6 di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento B), la probabilità di A diventa

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) + P(B) - P(A\cup B)}{P(B)} = \frac{1/6 + 3/6 - 4/6}{3/6} = 0$.

Definizione

La probabilità di A condizionata da B è

$P(A|B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$,

dove $P(A\cap B)$ è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.

In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile $(\Omega,\mathcal{A})$ di misura P, ogni evento B eredita una struttura di spazio misurato $(B,\mathcal{A}_B,P)$, restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in B, ed induce una nuova misura $P'_B(A)=P(A\cap B)$ su $(\Omega,\mathcal{A})$, con $P'_B(\Omega)=P(B)$. Se $(\Omega,\mathcal{A},P)$ è uno spazio probabilizzato ($P(\Omega)=1$) e B non è trascurabile ($P(B)\neq0$), allora riscalando $P'_B$ a $\textstyle P_B=\frac{1}{P(B)}P'_B$ si ottiene lo spazio probabilizzato $\textstyle(\Omega,\mathcal{A},P_B)$ delle probabilità condizionate da B.

Proprietà

La formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$

Ovvero, la probabilità che si verifichino sia A che B è pari alla probabilità che si verifichi B moltiplicata per la probabilità che si verifichi A supponendo che B sia verificato.

Due eventi A e B sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti

• $P(A\cap B)=P(A)P(B)$;
• $P(A|B)=P(A)$;
• $P(B|A)=P(B)$.

Casi particolari

Se A e B sono eventi disgiunti, cioè se $A\cap B=\emptyset$, le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato anche l'altro.

Se l'evento A implica l'evento B, cioè se $A\subset B$, allora la loro intersezione è A, per cui $P(A\cap B)=P(A)$ e:

• $P(B|A)=\frac{P(A)}{P(A)}=1$ (A implica B);
• $\textstyle P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}$ (B è necessario per A).

Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per P(A|B) esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli (A) su casi possibili (B)".
Invece, per P(B|A) otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto. sia condizionato dalla parte.

Ulteriori definizioni

La speranza condizionata $E[X|B]$ di una variabile aleatoria X ad un evento B è la speranza di X calcolata sulle probabilità $P_B$ (condizionate da B).

La probabilità di un evento A può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta X, originando una nuova variabile aleatoria, $Y=P(A|X)$, che per X=x assume il valore $Y=P(A|x)$.

Applicazioni

Il teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica $P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$ del teorema della probabilità composta come

$\textstyle P(A|B)=P(B|A)\frac{P(A)}{P(B)}$.

Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove P è detta "probabilità a priori di B" e P_B "probabilità a posteriori di 'B".

Paradossi

Molti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di P(A|B) con P(A) o con P(B|A).

Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.

Voci correlate

• Probabilità congiunta
• Indipendenza (probabilità)
• Inferenza bayesiana
• Teorema di Bayes
• Teorema della probabilità composta
• Valore atteso condizionato

Bibliografia

• Giuseppe Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari nella matematica vol.1, Padova, CEDAM, 1989, ISBN 88-1316794-6

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