Problema di Monty Hall

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Dopo la scelta del giocatore, il presentatore apre una porta (egli sa dove si trova l'auto) mostrando una capra. Qualsiasi cosa ci sia dietro la scelta iniziale del giocatore, egli cambiando scelta ha il 66,7% di probabilità di vincere l'auto, non cambiandola ne avrebbe il 33,3%.

Il problema di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilità, legato al gioco a premi americano Let's Make a Deal. Prende il nome da quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall.

Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un'automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l'ha ancora aperta, il conduttore dello show – che conosce ciò che si trova dietro ogni porta – apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante.

Cambiare porta migliora le chance del giocatore di vincere l'automobile? La risposta è : cambiando le probabilità di successo passano da 1/3 a 2/3.

Il problema è anche noto come paradosso di Monty Hall, poiché la soluzione può apparire controintuitiva, ma non si tratta di una vera antinomia, in quanto non genera contraddizioni logiche.

Storia del problema e sua soluzione[modifica | modifica sorgente]

Il problema[modifica | modifica sorgente]

Una famosa formulazione del problema è contenuta in una lettera del 1990 di Craig F. Whitaker, indirizzata alla rubrica di Marilyn vos Savant nel settimanale Parade:

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere fra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?

Quella proposta sopra è una formulazione del problema data da Steve Selvin, in una lettera all'American Statistician (febbraio 1975). Così impostato, il problema è in realtà una variazione sul tema del gioco a premi originale; Monty Hall in effetti apriva una porta dietro cui si trovava una capra per aumentare la tensione, ma non consentiva ai giocatori di cambiare la propria scelta originale. Come scrisse lo stesso Monty Hall a Selvin:

E se mai dovesse partecipare al mio gioco, le regole sarebbero le stesse per lei - nessuno scambio dopo la scelta originale.
(letsmakeadeal.com)

Marilyn vos Savant risolse il problema correttamente; l'episodio fece un certo scalpore, in quanto diversi accademici non riconobbero la correttezza della soluzione proposta dalla vos Savant finché questa non la spiegò nel dettaglio in un successivo articolo.

La successiva lettera di Selvin all'America Statistician (agosto, 1975) battezza il problema come "Problema di Monty Hall".

Un problema essenzialmente identico appare in ogni modo nella rubrica Mathematical Games di Martin Gardner nel 1959, col nome di "Problema dei tre prigionieri".

Questo problema era stato ideato dal matematico francese Joseph Louis François Bertrand che lo aveva proposto nel suo libro Calcul des Probabilités (1889) ed era noto come il Paradosso delle tre scatole di Bertrand.

Quella che segue, per concludere, è una formulazione del problema priva di ambiguità, con vincoli espliciti concernenti il comportamento del conduttore, presentata da Mueser e Granberg:

  • Dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una capra (due capre, un'automobile in tutto); la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta è identica per tutte le porte;
  • Il giocatore sceglie una delle porte; il suo contenuto non è rivelato;
  • Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta;
  • Il conduttore deve aprire una delle porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta;
  • Il conduttore aprirà sempre una porta che nasconde una capra;
    • Cioè, se il giocatore ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l'altra capra;
    • Se invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l'automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due porte rimanenti;
  • Il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, o di cambiare, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta.

Le possibilità di vittoria aumentano per il giocatore se cambia la propria scelta?

Soluzione[modifica | modifica sorgente]

La risposta è ; le probabilità di trovare l'automobile raddoppiano.[1][2]

La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:

  • Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 2. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
  • Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 1. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
  • Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.

Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l'auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.

Una strategia di soluzione alternativa è considerare che se si suppone di cambiare, il solo caso in cui si perde è quello in cui originariamente si è scelta l'automobile e quindi la domanda del conduttore può essere considerata un invito a invertire le probabilità di successo con quelle di insuccesso.

Il problema sarebbe diverso se non ci fosse una scelta iniziale, o se il conduttore scegliesse una porta a caso, o se il conduttore potesse offrire al giocatore di cambiare a seconda della scelta iniziale del giocatore. Alcune formulazioni del problema, e significativamente quella del settimanale Parade, non escludono esplicitamente queste possibilità; diversi testi di probabilità elementare riportano varianti del problema. Per esempio, se il conduttore offre la possibilità di cambiare solo se il giocatore inizialmente ha scelto l'automobile, le chance di vittoria associate alla strategia "cambiare" sono, ovviamente, dello 0%. Nella formulazione proposta nella sezione precedente, il giocatore che cambia ha una probabilità di vittoria pari a 2/3 precisamente perché il conduttore deve offrirgli la possibilità di cambiare, e deve rivelare una capra.

Aiuti alla comprensione del problema[modifica | modifica sorgente]

L'obiezione più comune alla soluzione è fornita dall'idea che, per varie ragioni, il passato possa essere ignorato quando si valutano delle probabilità. Dunque, la scelta della prima porta e il ragionamento del conduttore circa quale porta aprire si possono trascurare; dal momento che si può scegliere tra due porte, la probabilità di scegliere quella giusta dovrebbe essere pari al 50%.

Per confutare ciò possiamo porci una domanda. Ipotizziamo che un giocatore adotti la strategia di non accettare mai l'offerta del conduttore, qualunque essa sia. Se le probabilità di vincita all'inizio sono del 33%, ha senso pensare che queste passino automaticamente al 50% solo perché il conduttore ha chiesto qualcosa che il giocatore non ascolta neanche? Ovviamente no.

Sebbene ignorare il passato funzioni in certi giochi, come ad esempio nel lancio di una moneta, non funziona necessariamente in tutti i giochi. Un rilevante controesempio è fornito dal conteggio delle carte uscite in certi giochi di carte, che consente ai giocatori di sfruttare a proprio vantaggio l'informazione riguardante eventi passati. Questo tipo di informazione è utile nella soluzione del problema di Monty Hall, come illustrato negli esempi che seguono.

Infatti, è più facile (probabile) che il giocatore si trovi ad aver scelto (prima scelta nel passato) una capra (aveva due possibilità su tre per una capra contro una possibilità su tre per l'automobile).

Quello che realmente fa la differenza è la conoscenza del futuro o almeno la restrizione dei possibili eventi futuri. Mentre nel lancio della moneta le probabilità di uscita testa o croce non dipendono dai lanci passati, negli esempi di carte (contare le carte) o del problema di Monty Hall i possibili eventi futuri si "riducono" dopo un preciso episodio. Nel caso del contare le carte, l'uscita di una carta modifica le possibili carte che possono ancora uscire, quindi ne modifica la probabilità. Nel caso del problema di Monty Hall, l'esclusione da parte del conduttore di una scelta certamente "sconveniente" rende attraente la porta rimanente più interessante della prima porta scelta quando non si aveva nessuna conoscenza.

Diagrammi di Eulero-Venn[modifica | modifica sorgente]

La probabilità che l'auto sia dietro la porta restante può essere calcolata con l'ausilio del diagramma di Venn illustrato sotto. Dopo aver scelto la porta 1, per esempio, il giocatore ha probabilità 1/3 di aver selezionato la porta con l'auto, il che assegna una probabilità pari a 2/3 alle due porte restanti. Si osservi che c'è una probabilità pari a 1 di trovare una capra dietro almeno una delle due porte non selezionate dal giocatore, dal momento che c'è una sola auto in palio.

Monty open door.svg

Si supponga che il conduttore apra la porta 3. Dal momento che può solo aprire una porta che nasconde una capra, e non apre una porta a caso, questa informazione non ha effetto sulla probabilità che l'auto sia dietro la porta originariamente selezionata, che resta pari a 1/3. Ma l'auto non è dietro la porta 3, dunque l'intera probabilità di 2/3 delle due porte non selezionate dal giocatore è ora assegnata alla sola porta 2, come mostrato sotto. Un modo alternativo per arrivare a questa conclusione è osservare che se l'auto si trova dietro la porta 2 o dietro la porta 3, aprire la porta 3 implica che l'auto si trova dietro la 2.

Monty open door chances.svg


Osserviamo che il problema non cambierebbe se il conduttore, anziché aprire una porta, offrisse al giocatore la possibilità di cambiare la porta scelta con entrambe le altre. In questo caso è evidente che la probabilità è 2/3.

Viceversa, la situazione cambierebbe completamente se il presentatore, dopo aver escluso la porta 3, scambiasse casualmente i premi nascosti dietro le porte 1 e 2. In questo caso il giocatore avrebbe probabilità 1/2 di vincere sia se mantiene la porta 1, sia se la cambia. Senza questo rimescolamento le probabilità restano 1/3 e 2/3.

Teorema di Bayes[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Bayes.

Una analisi del problema attraverso il teorema di Bayes rende esplicito l'effetto delle ipotesi sopra indicate. Si consideri, senza ledere la generalità dell'analisi, il caso in cui la porta 3 è stata aperta dal conduttore mostrando una capra, e che il concorrente abbia selezionato la porta 1.

La probabilità che l'automobile si trovi dietro la porta 2 (ovvero la probabilità di trovare l'auto dopo aver cambiato la scelta iniziale) è \ 1-\ P(A1|C3) ove A1 è l'evento che l'auto si trovi dietro alla porta 1 e C3 è l'evento che il conduttore selezioni una capra dietro la porta 3. La probabilità (a priori, utilizzando il gergo della statistica bayesiana) che l'automobile si trovi dietro la porta 1, che si denota con \ P(A1), è chiaramente 1/3, in quanto l'auto ha a priori la stessa probabilità di trovarsi dietro ciascuna porta. La probabilità che il conduttore apra la porta 3 con dietro una capra, \ P(C3), è altrettanto chiaramente 1/2, visto che il conduttore deve scegliere una delle due porte non scelte dal concorrente. La probabilità che il conduttore selezioni una porta con dietro la capra posto che l'automobile sia dietro la porta 1, \ P(C3|A1), è 1/2 perché se l'automobile è dietro la porta 1, scelta inizialmente, il conduttore può scegliere di aprire una delle altre due porte 2 o 3.

Pertanto, sfruttando il teorema di Bayes:

La probabilità di trovare l'auto cambiando la scelta iniziale, dopo che il conduttore (onnisciente) ha mostrato una porta con dietro la capra è:

\ P(A2|C3)= 1-\ P(A1|C3)=1-\frac{P(C3|A1)P(A1)}{P(C3)}=1-\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}\frac{1}{2}=\frac{2}{3}

Oppure, considerando che \ P(C3|A2)=1 dato che al conduttore non rimane che aprire l'unica porta non scelta dal concorrente con dietro una capra, si può calcolare direttamente:

\ P(A2|C3)= \frac{P(C3|A2)P(A2)}{P(C3)}=\frac{1\times\frac{1}{3}}\frac{1}{2}=\frac{2}{3}

Teorema delle probabilita' totali[modifica | modifica sorgente]

Dimostriamo ora che, cambiando sempre l'ultima scelta, la probabilità di vincere l'automobile è \ \frac{2}{3} mediante il teorema delle probabilità totali. Ricordiamo che la nostra strategia è di scegliere mentalmente due porte, di indicare al conduttore l'altra porta e poi di cambiare. Indichiamo con \ V l'evento "vittoria seguendo questa strategia". Sia \ A l'evento "sotto le due porte scelte mentalmente c'e' la macchina" e \ B l'evento complementare. Chiaramente \ P(A) = \frac{2}{3}  . Si noti anche che \ P(V|A) = 1  poiché, grazie alla strategia scelta, se la macchina si trova sotto i due pacchi scelti mentalmente, il conduttore ci indicherà poi quello vincente aprendo la porta perdente. Per il teorema delle probabilità totali abbiamo allora

\ P(V) = P(V|A) P(A) + P(V| B) P(B) = 1 \times \frac{2}{3} + 0 \times \frac{1}{3}  = \frac{2}{3}

Spiegazione del ragionamento intuitivo[modifica | modifica sorgente]

Analisi della soluzione[modifica | modifica sorgente]

Per arrivare al ragionamento intuitivo è necessaria l'analisi sotto un altro aspetto delle parole del conduttore: "Apro una delle due porte che non hai scelto, in cui vi è una capra. Vuoi cambiare la tua scelta?". Sapendo a priori la soluzione, le parole dette dal conduttore possono essere tradotte in: "Se hai scelto un'automobile (1/3) ti faccio perdere facendoti scegliere una capra (100%), se invece hai scelto una delle due capre (2/3) ti faccio vincere scegliendo l'automobile (100%). Vuoi cambiare la tua scelta?".
Come vediamo, inizialmente i casi sono:

  • A: il giocatore sceglie la prima capra, perdendo (1/3);
  • B: il giocatore sceglie la seconda capra, perdendo (1/3);
  • C: il giocatore sceglie l'automobile, vincendo (1/3); con una probabilità di vincita del 1/3.

Cambiando la scelta ci accorgiamo che:

  • A: il giocatore aveva scelto la prima capra, la seconda capra viene scoperta, il giocatore sceglie l'automobile vincendo (1/3);
  • B: il giocatore aveva scelto la seconda capra, la prima capra viene scoperta, il giocatore sceglie l'automobile vincendo (1/3);
  • C: il giocatore aveva scelto l'automobile, viene scoperta una delle due capre, il giocatore sceglie la capra rimanente perdendo (1/3); con una probabilità di vincita di 2/3 (sia A che B), possiamo rilevare che questo accade solo perché dato che i casi di perdita sono due, eliminandone uno, le possibilità, cambiando la scelta variano da: A e B perdenti e C vincente, a C perdente e AB vincente.

Perciò, essendo partiti da 3 possibilità iniziali, di cui due uguali, avendo quindi solo 2 risultati finali, le probabilità passano dal 1/3 a 2/3 e non dal 1/3 al 50%, cosa che sarebbe accaduta se le situazioni iniziali fossero 3 differenti, in modo da avere obbligatoriamente 3 risultati finali di modo che l'apertura di una delle tre porte avrebbe eliminato una delle opzioni finali e iniziali e non solo di quelle iniziali.

Il ragionamento intuitivo[modifica | modifica sorgente]

La situazione che d'intuito ci viene a pensare è questa, che purtroppo induce ogni ragionamento logico collegato a non riuscire a spiegare il problema di Monty Hall: Partiamo dalla situazione che vi è un secondo concorrente a partecipare al gioco a premi per rappresentare la seconda situazione differente da quella del primo, il primo concorrente ha già vinto la macchina, e al posto di una capra viene messa una moto in una porta. Ora a seconda di cosa sceglierà il concorrente, vincerà (scegliendo la porta con l'automobile che avrebbe dovuto vincere il primo concorrente), vi sarà un pareggio (entrambi vinceranno: il primo concorrente vincerà l'automobile e il secondo la moto) oppure perderà (scegliendo la capra, lasciando vincere il primo concorrente). Supponi ora di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere fra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro un'altra una moto e infine dietro l'ultima, una capra. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale? Dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una moto o una capra; la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta è identica per tutte le porte;

  • Il giocatore sceglie una delle porte; il suo contenuto non è rivelato;
  • Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta;
  • Il conduttore deve aprire una delle porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta;
  • Il conduttore aprirà una delle porte non scelte a caso;
    • Cioè, indipendentemente da ciò che ha scelto il giocatore il conduttore aprirà una porta, eliminando la possibilità che la condizione finale correlata alla porta appena aperta si verifichi;
  • Il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, o di cambiare, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta.

Che cambiamento si ha? Le possibilità di vittoria aumentano?

La soluzione al ragionamento intuitivo[modifica | modifica sorgente]

La risposta è ; le probabilità di trovare l'automobile arrivano al 50%.

La differenza con il problema precedente sta nelle probabilità di perdita o di pareggio, che aumentano anch'esse fino al 50%.

La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono sei scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/6:

  • Il giocatore sceglie la capra.
    • Il conduttore elimina l'automobile. Cambiando, il giocatore pareggia, scegliendo la moto.
    • Il conduttore elimina la moto. Cambiando, il giocatore vince, scegliendo l'automobile.
  • Il giocatore sceglie la moto.
    • Il conduttore sceglie la capra. Cambiando, il giocatore vince, scegliendo l'automobile.
    • Il conduttore sceglie l'automobile. Cambiando, il giocatore perde, scegliendo la capra.
  • Il giocatore sceglie l'automobile.
    • Il conduttore sceglie la moto. Cambiando, il giocatore perde, scegliendo la capra.
    • Il conduttore sceglie la capra. Cambiando, il giocatore pareggia, scegliendo la moto.

Come si può vedere, la situazione iniziale, avendo tre possibilità differenti, impone tre risultati diversi. Perciò questa volta è il conduttore a eliminare una possibilità al giocatore, cosa che potrebbe portare uno svantaggio o un vantaggio a seconda del conduttore, quindi il giocatore dovrebbe soltanto decidere se fidarsi o no.

La possibilità di pareggio va considerata a sé stante e non come possibilità di perdita, altrimenti si rischia di confondere nuovamente le situazioni dei due concorrenti, senza capire la situazione reale.

Varianti[modifica | modifica sorgente]

Il conduttore non sa cosa ci sia dietro le porte[modifica | modifica sorgente]

Dopo la scelta del concorrente, il conduttore apre una delle due porte rimaste. Poiché non sa cosa c'è dietro, con probabilità 1/3 trova l'auto e il gioco finisce. Con probabilità 2/3 trova invece la capra e può chiedere al concorrente se vuole effettuare il cambio con la porta rimasta chiusa. In questo caso accettare lo scambio non fa aumentare al concorrente la sua probabilità di vincere che a questo punto è di 1/2 qualunque sia la sua decisione.[3]

Due giocatori[modifica | modifica sorgente]

Ad alcuni minuti dalla fine del gioco, il conduttore sceglie due concorrenti a cui proporre "la grande scommessa". Dietro a una delle tre porte c'è il premio più consistente. Ad ogni giocatore è permesso scegliere una porta (non la stessa).

In questo scenario, si può esaminare una variante del problema. Il presentatore elimina il giocatore che abbia scelto una porta con dietro la capra (se lo hanno fatto entrambi, ne viene scelto uno a caso), apre la porta, svelando la capra e poi offre al giocatore rimanente la possibilità di cambiare la propria scelta. Il giocatore dovrebbe effettuare lo scambio?

La risposta è no. La ragione: il giocatore che effettuasse lo scambio in questo tipo di gioco vincerebbe se e solo se entrambi i giocatori avessero scelto una porta con la capra. che probabilità ha questa evenienza? 1/3. Se mantenesse la scelta resterebbero 2/3 di probabilità. Quindi chi mantenesse la scelta fatta inizialmente avrebbe il doppio delle possibilità di vincere.

In alternativa, ci sono tre possibili scenari, tutti con uguale probabilità (1/3):

  • Il giocatore 1 sceglie la porta che nasconde l'auto. Il conduttore deve eliminare il giocatore 2. Cambiare scelta comporta perdere.
  • Il giocatore 2 sceglie la porta che nasconde l'auto. Il conduttore deve eliminare il giocatore 1. Cambiare scelta comporta perdere.
  • Nessuno dei giocatori sceglie la porta che nasconde l'auto. Il conduttore elimina a caso uno dei due giocatori. Cambiare scelta comporta vincere.

Il giocatore 1 è l'unico rimasto nel primo caso, e lo è con probabilità 1/2 nel terzo caso; in questa eventualità cambiare scelta comporta una probabilità di perdere (1/3) due volte maggiore di quella di vincere (1/6). Analogamente, nel secondo caso il giocatore 2 è l'unico rimasto, e lo è con probabilità 1/2 nel terzo caso; in questa eventualità cambiare scelta comporta una probabilità di perdere (1/3) due volte maggiore di quella di vincere (1/6). Dunque a prescindere da quale giocatore rimanga, c'è una probabilità pari a 2/3 di vincere se non si cambia scelta. Per rendere più palese la differenza rispetto al caso precedente si può dire che non si può qui ragionare come prima dove il (unico) giocatore arriva sempre al secondo turno (quello del possibile scambio) e la probabilità che abbia selezionato la scelta vincente rimane 1/3, contro i complementari 2/3 della scelta alternativa. Si deve invece notare che nell'istante in cui un giocatore (uno dei due) arriva al secondo turno deve considerare che la probabilità che abbia inizialmente effettuato la scelta giusta si modifica e sale a 2/3. In sostanza il giocatore rimasto riveste in questo caso, in termini di probabilità, lo stesso ruolo che prima (caso con un giocatore) ricopriva la porta non selezionata dal giocatore né eliminata dal conduttore.

n porte[modifica | modifica sorgente]

Esiste una generalizzazione del problema originale in cui si hanno n porte: nel primo stadio del gioco, il giocatore sceglie una porta. Quindi il conduttore apre un'altra porta, che nasconde una capra. Se il giocatore vuole, può quindi cambiare scelta e passare a un'altra porta. Il conduttore aprirà allora un'ulteriore porta, ancora non aperta, che nasconde una capra, diversa da quella attualmente scelta dal giocatore. Il giocatore ha quindi la possibilità di cambiare ancora scelta, e così via. Questo procedimento continua fino a che non restano che due porte non ancora aperte: la scelta corrente del giocatore, e un'altra porta. Quante volte dovrebbe cambiare scelta il giocatore, e a che punto del gioco (sempre che cambi almeno una volta)?

La migliore strategia è: restare con la prima scelta sino a che non rimangano solo due porte e a quel punto cambiare. Seguendo questa strategia la probabilità di vincere è (n-1)/n. Questa variante del paradosso di Monty Hall si deve a Bapeswara Rao e Rao.

Variante nel gioco del bridge[modifica | modifica sorgente]

Una comune variante del problema è nota ai giocatori di bridge da ben prima che l'articolo della Vos Savant fosse pubblicato. Tale variante è nota come principio della scelta ristretta.[4]

Versione quantistica[modifica | modifica sorgente]

Esiste una versione quantistica del paradosso, che illustra alcuni aspetti della relazione tra la teoria dell'informazione classica (non quantistica) e l'informazione quantistica, ossia l'informazione codificata negli stati di sistemi meccanici quantistici. Le tre porte sono rimpiazzate da un sistema quantistico che consta di tre alternative, in cui aprire una porta e vedere cosa nasconde si traduce in fare una particolare misurazione. Le regole del gioco possono essere espresse in questo linguaggio, e ancora una volta il giocatore può scegliere se restare fedele alla propria scelta iniziale o cambiare e optare per una scelta alternativa ("ortogonale"). Quest'ultima strategia ha probabilità di vittoria doppie, esattamente come nel caso classico. Tuttavia, se la posizione del premio non è pienamente casuale in senso quantistico, il giocatore può fare ancora meglio, e in determinati casi vincere con probabilità pari a uno. È disponibile in rete un articolo al riguardo, nonché un'applet che illustra gli effetti così descritti.

Nella letteratura e nel cinema[modifica | modifica sorgente]

  • Questo problema viene citato, con tanto di due dimostrazioni (intuitiva e matematica), nel libro di Mark Haddon Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte, dove il giovane protagonista propone il quesito ai lettori.[5]
  • Un'altra citazione del problema si ha nel telefilm Numb3rs.[6]
  • Nel film 21, il professore Mickey Rosa propone il problema al protagonista del film, l'allievo Ben Campbell, che lo risolve brillantemente.
  • Anche la scrittrice Scarlett Thomas nel suo libro PopCo cita questo problema, definendolo Dilemma di Monty Hall[7]
  • Nel libro "I conigli di Schrödinger" di Colin Bruce, viene illustrato il Problema di Monty Hall.[8]
  • Il problema è utilizzato come elemento narrativo in "Miele" di Ian McEwan. La protagonista del romanzo si trova a dover spiegare il problema (che per sua natura è controintuitivo) al suo compagno che vuole utilizzarlo in un racconto.
  • Nel Libro " La fisica del diavolo" di Jim Al-Khalili.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie, Grinstead and Snell’s Introduction to Probability (PDF), 4 luglio 2006, pp. 136-139. URL consultato il 4 luglio 2012.
  2. ^ (EN) David Morin, Probability, p. 49
  3. ^ (EN) Jeffrey S. Rosenthal, "Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl" in Math Horizons, 2005a, pp. September issue,5–7. URL consultato il 12 luglio 2012.
  4. ^ Restricted Choice Article
  5. ^ p. 77, 78, 79 e 80. Mark Haddon, Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte, Einaudi (2003)
  6. ^ Numb3rs - Episodio 1.13, Caccia all'uomo
  7. ^ Scarlett Thomas, PopCo Newton Compton Editori (2007)
  8. ^ p.75,76,77.Colin Bruce, I conigli di Schrödinger, Raffaello Cortina Editore (2006)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Bapeswara Rao, V. V. e Rao, M. Bhaskara (1992). A three-door game show and some of its variants. The Mathematical Scientist 17(2), 89–94
  • (EN) Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; e Nydick, Robert L. (1995). A Tale of Two Goats... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions. Journal of Recreational Mathematics 1995, 1–9.
  • Joseph Bertrand (1889). Calcul des probabilités
  • (EN) Gardner, Martin (1959). Rubrica "Mathematical Games", Scientific American, ottobre 1959, 180–182.
  • (EN) Mueser, Peter R. e Granberg, Donald (1999). The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html (retrieved July 5, 2005).
  • (EN) Nahin, Paul J. (2000). Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ, 192-193. ISBN 0-691-00979-1
  • (EN) Selvin, Steve (1975a). A problem in probability (letter to the editor). American Statistician 29(1): 67 (febbraio 1975).
  • (EN) Selvin, Steve (1975b). On the Monty Hall problem (letter to the editor). American Statistician 29(3): 134 (agosto 1975).
  • (EN) Tierney, John (1991). Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?, The New York Times 21 luglio 1991, Domenica, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
  • vos Savant, Marilyn (1990). Rubrica Ask Marilyn, Parade Magazine 12 (17 febbraio 1990). [citata in Bohl et al., 1995]
  • (EN) Adams, Cecil (1990). On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2--no prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?, The Straight Dope 2 novembre 1990. http://www.straightdope.com/classics/a3_189.html (consultata il 25 luglio 2005).
  • (EN) Tijms, Henk (2004). Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 213-215.
  • Haddon, Mark (2003). Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte Einaudi.
  • Rosenthal, Jeffrey S. (2006). Le regole del caso, istruzioni per l'uso, Longanesi, Milano, ISBN 88-304-2370-X
  • (EN) Rosenhouse, Jason (2009). The Monty Hall Problem, Oxford University Press ISBN 978-0-19-536789-8

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