Paradosso dei due bambini

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Viene detto paradosso dei due bambini un celebre quesito della teoria della probabilità, apparentemente semplice ma in realtà ambiguo e il cui studio porta ad una risposta controintuitiva. Esso è spesso citato per mettere in evidenza la facilità con la quale nell'ambito della probabilità può nascere confusione anche in contesti che a prima vista sembrano nient'affatto complicati da analizzare.

Il nome con cui viene chiamato comunemente questo problema viene dall'inglese "Boy or Girl paradox"; tuttavia il termine italiano "paradosso" ha un senso più preciso e restrittivo del "paradox" inglese, e non designa problemi come questo, che tecnicamente è piuttosto un sofisma.

Quesito[modifica | modifica wikitesto]

Il quesito in questione è, in una delle prime formulazioni (proposta da Martin Gardner sulle pagine del Scientific American): "Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?"

La risposta intuitiva è che se, poniamo, è maschio il primo bambino, la probabilità che anche l'altro lo sia è 1/2=50%.

In realtà, come riconosciuto da Gardner stesso, la domanda è posta in modo ambiguo (è facile pensare che con "almeno uno" si intenda "sicuramente uno che ho chiaramente individuato - ed eventualmente anche l'altro"), e una possibile riformulazione - intuitivamente equivalente - che non dia adito ad ambiguità è la seguente:

"Il signor Smith ha due bambini. Non sono due femmine. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?"

Non è difficile, utilizzando semplici strumenti di probabilità classica, scoprire che la risposta è allora 1/3=33,3%. Di seguito le possibili combinazioni dei figli che rispettano le condizioni date:

Figlio 1 Figlio 2
Femmina Femmina
Femmina Maschio
Maschio Femmina
Maschio Maschio

Si osservi che questo cosiddetto paradosso non ha nulla a che vedere con il fatto che in natura il numero di figli maschi sia diverso dal numero di figlie femmine; si assume invece che la probabilità di un figlio maschio sia a priori uguale a quella di una figlia femmina: 1/2.

Dimostrazione assiomatica o frequentista[modifica | modifica wikitesto]

Su 100 famiglie che hanno esattamente due figli, si osserveranno in media le seguenti quattro combinazioni:

  1. 25 famiglie il cui primo figlio è maschio e il secondo pure
  2. 25 famiglie il cui primo figlio è maschio e il secondo invece femmina
  3. 25 famiglie il cui primo figlio è femmina e il secondo invece maschio
  4. 25 famiglie il cui primo figlio è femmina e il secondo pure

La domanda prende in considerazione i primi tre casi, ovvero non quello in cui ci sono due femmine: si tratta di 75 famiglie. Nelle 25 famiglie del primo caso entrambi i figli sono maschi, mentre nelle 25+25=50 famiglie del secondo e terzo caso ci sono un maschio ed una femmina. Pertanto la probabilità che entrambi siano maschi è pari a 25/75=1/3.

Una domanda simile con risposta corretta pari a 1/2[modifica | modifica wikitesto]

L'ambiguità è nell'espressione "almeno un bambino", che porta a intendere questo "paradosso" nella seguente formulazione, in apparenza equivalente:

sapendo che una famiglia ha esattamente due bambini, dei quali il primo è un maschio, quant'è la probabilità che l'altro bambino sia una femmina?

In questo caso la risposta intuitiva (1/2=50%) è corretta. Infatti in metà delle famiglie (casi 1 e 2) il primo figlio è maschio e di queste nella metà dei casi (caso 1) anche il secondo è maschio. Di seguito le possibili combinazioni dei figli che rispettano le diverse condizioni poste:

Figlio maggiore Figlio minore
Femmina Femmina
Femmina Maschio
Maschio Femmina
Maschio Maschio

Ma con le parole "almeno un bambino", non stiamo individuando uno dei due figli in particolare (cioè se è il primo o il secondo). Le parole "l'altro bambino" invece ci portano spontaneamente ad immaginare che l'"almeno uno" indichi un bambino specifico (ad esempio che chi ci pone la domanda ne abbia chiaro in mente il volto e se è il primo o il secondo) ed a forzare quindi il significato della prima parte della domanda.

Un'altra domanda simile con risposta corretta pari a 1/2[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra domanda simile è la seguente:

"In un mondo nel quale tutte le famiglie hanno esattamente due bambini (p.es. nell'associazione "Famiglie con due figli"), incontrando un maschietto, quant'è la probabilità che abbia una sorella?"

Anche in questo caso la risposta intuitiva (1/2=50%) è anche quella corretta. Infatti analizzando in modo leggermente diverso l'elenco di cui sopra

  1. 25 famiglie il cui primo figlio (gruppo A1) è maschio e il secondo (gruppo A2) pure
  2. 25 famiglie il cui primo figlio (gruppo B1) è maschio e il secondo (gruppo B2) invece femmina
  3. 25 famiglie il cui primo figlio (gruppo C1) è femmina e il secondo (gruppo C2) invece maschio
  4. 25 famiglie il cui primo figlio (gruppo D1) è femmina e il secondo (gruppo D2) pure

si osserva che incontrando un maschietto questo deve appartenere ad uno dei seguenti quattro gruppi:

  • 25 (primogeniti) del gruppo A1, che non hanno sorelle
  • 25 (secondogeniti) del gruppo A2, che non hanno sorelle (si tratta dei fratelli di bambini del gruppo A1)
  • 25 (primogeniti) B1, che hanno una sorella (minore)
  • 25 (secondogeniti) C2, che hanno una sorella (maggiore)

In totale ci sono dunque 100 maschietti, dei quali 25+25=50 hanno una sorella, di conseguenza la probabilità cercata è effettivamente pari a 50/100=1/2=50%.

Studio scientifico[modifica | modifica wikitesto]

Fox & Levav nel 2004 hanno sottoposto ad un test alcuni volontari, ponendo loro una delle seguenti due domande:

  • «Il signor Smith dice: "Ho due bambini ed almeno uno è un maschio." Considerando questa informazione, qual è la probabilità che l'altro bambino sia un maschio?»
  • «Il signor Smith dice: "Ho due bambini e non sono entrambi femmine." Considerando questa informazione, qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?»

I due studiosi hanno riportato che l'85% delle persone che hanno risposto alla prima domanda, hanno fornito come risposta 1/2 considerando solo 2 possibili combinazioni, ingannati dalle parole "l'altro bambino". Alla seconda domanda, solamente il 39% ha risposto 1/2. Gli studiosi hanno così dimostrato che pur essendo (a livello di calcolo delle probabilità) la stessa domanda con gli stessi casi da considerare, la diversa formulazione ha ridotto l'ambiguità e di conseguenza le risposte errate del 46%.

Note[modifica | modifica wikitesto]


Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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