Disgiunzione

Nella teoria degli insiemi la disgiunzione è la relazione che sussiste fra due insiemi che non hanno alcun elemento in comune. In altre parole, due insiemi $A$ e $B$ sono disgiunti se la loro intersezione è l'insieme vuoto $\varnothing$, cioè: $A\cap B=\varnothing .$

Esempi

Si considerino gli insiemi

$A=\{1,2,3\};\;B=\{3,4,5\};\;C=\{4,5,6\}$

mentre $A$ e $B$ non sono disgiunti, $A$ e $C$ sono disgiunti.

Sono disgiunti l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari. Non lo sono l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari: hanno in comune lo zero inteso come numero complesso.

Varie

La disgiunzione di insiemi è una relazione simmetrica, non riflessiva (l'unico elemento in relazione con sé stesso è l'insieme vuoto) e non transitiva. Un controesempio per la non transitività è dato dai seguenti insiemi

$E=\{a,b,c\};\;F=\{d,f,g\};\;G=\{e,f,h,i\}$ ;

$E$ ed $F$ sono disgiunti, come lo sono $E$ e $G$; $F$ e $G$ invece non sono disgiunti.

Una famiglia di insiemi $\,E_{i}$ per $\,i\in I$ si dice costituita da insiemi mutuamente disgiunti (o a due a due disgiunti) se per ogni coppia di indici distinti $\,h,k\in I$ i corrispondenti insiemi sono disgiunti: $\,E_{h}\cap \,E_{k}=\varnothing$. Notare che questa è una proprietà più forte del richiedere che l'intersezione totale $\bigcap _{i\in I}E_{I}$ sia vuota. Per esempio gli insiemi E, F e G definiti sopra non sono mutuamente disgiunti sebbene $\,E\cap \,F\cap \,G=\varnothing$.

Una partizione di un insieme è costituita da un ricoprimento fatto con suoi sottoinsiemi mutuamente disgiunti.

Voci correlate

• Intersezione di insiemi
• Separazione (teoria degli insiemi)

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Collegamenti esterni

• (EN) disjoint sets, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Disgiunzione, su MathWorld, Wolfram Research.