Disgiunzione

Nella teoria degli insiemi la disgiunzione è la relazione che sussiste fra due insiemi che non hanno alcun elemento in comune. In altre parole, due insiemi A e B sono disgiunti se la loro intersezione è l'insieme vuoto:

$A\cap B = \varnothing$

Esempi

Si considerino gli insiemi

$A=\{1,2,3\};\;B=\{3,4,5\};\;C=\{4,5,6\}$

mentre A e B non sono disgiunti, A e C sono disgiunti.

Sono disgiunti l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari. Non lo sono l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari: hanno in comune lo zero inteso come numero complesso.

Varie

La disgiunzione di insiemi è una relazione simmetrica, non riflessiva (l'unico elemento in relazione con sé stesso è l'insieme vuoto) e non transitiva. Un controesempio per la non transitività è dato dai seguenti insiemi

$E=\{a,b,c\};\;F=\{d,f,g\};\;G=\{e,f,h,i\}$ ;

E ed F sono disgiunti, come lo sono E e G; F e G invece non sono disgiunti.

Una famiglia di insiemi $\,E_i\,$ per $\,i\in I\,$ si dice costituita da insiemi mutuamente disgiunti se per ogni coppia di indici distinti $\,h,k\in I\,$ i corrispondenti insiemi sono disgiunti: $\,E_h \cap \,E_k = \varnothing$. Notare che questa è una proprietà più forte del richiedere che l'intersezione totale $\bigcap_{i \in I} E_I$ sia vuota. Un esempio è la famiglia costituita dagli insiemi E, F e G definiti sopra.

Una partizione di un insieme è costituita da un ricoprimento fatto con suoi sottoinsiemi mutuamente disgiunti.

Voci correlate

• Intersezione di insiemi

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