Famiglia (matematica)

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In matematica, una famiglia è una collezione di elementi. Essa consiste in un insieme, detto insieme di indici, e in una mappa che ad ogni indice associa un unico elemento della famiglia. Per ogni elemento della famiglia esiste almeno un indice al quale esso è associato tramite la mappa. Poiché a indici diversi può essere associato lo stesso elemento, una famiglia, a differenza di quanto accade per gli insiemi, può contenere lo stesso elemento un numero arbitrario di volte. Inoltre qualsiasi struttura aggiuntiva assegnata all'insieme di indici, si estende alla famiglia. A titolo di esempio, una famiglia ordinata è una famiglia definita su un insieme di indici ordinato.

A volte inoltre, quando si parla di un insieme che ha per elementi a sua volta degli insiemi (come ad esempio l'insieme delle parti), invece del cacofonico "insieme di insiemi" si usa "famiglia di insiemi"(o classe o collezione), non necessariamente intendendolo nel senso di famiglia indicata in questo articolo.

Formalmente, una famiglia è una tripletta (X, I, ι) di insiemi X e I e una funzione suriettiva ι: IX.

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

Una famiglia è usualmente indicata con (Ai)iI. In tal caso I è l'insieme di indici, ι(i)=Ai è la mappa e Ai è l'elemento associato a i, talvolta detto l'i-esimo elemento della famiglia.

In alternativa, si utilizza anche la simbologia {Ai}iI, con parentesi graffe anziché tonde, sebbene sia facile confonderla con la notazione {Ai | iI}, che indica invece un insieme non strutturato.

Uso implicito[modifica | modifica wikitesto]

Spesso si utilizza una famiglia senza menzionarla esplicitamente e ciò, in certi casi, può condurre a equivoci o ad errori molto difficili da rintracciare.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Notazione indicizzata[modifica | modifica wikitesto]

Ogni volta che si ricorre ad una notazione indicizzata, gli oggetti indicizzati formano una famiglia.

I vettori v1, …, vn sono linearmente indipendenti.

(vi)i ∈ {1, …, n} è una famiglia di vettori. L'espressione i-esimo vettore vi ha senso solo se riferita ad una famiglia, perché, non essendo gli elementi di un insieme indicizzati, non vi è alcun i-esimo vettore in un insieme. La distinzione tra famiglia e insieme ha importanti ricadute sulla proprietà di indipendenza lineare, come risulta chiaro dal seguente esempio.

Considerando n=2 e v1 = v2 = (1, 0), l'insieme risultante comprende un solo elemento e, pertanto, è linearmente indipendente, mentre la famiglia corrispondente contiene lo stesso elemento due volte ed è perciò linearmente dipendente.

Matrici[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice quadrata A è invertibile, se e solo se le righe di A sono linearmente indipendenti.

Anche in questo caso è importante precisare se le righe di A sono linearmente indipendenti come famiglia o come insieme.

Se consideriamo la matrice:

 A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},

l'insieme delle sue righe comprende il solo elemento (1, 1), perciò è linearmente indipendente, ma la matrice non è invertibile. La famiglia di righe contiene invece due elementi identici ed è pertanto linearmente dipendente.

La proposizione è quindi corretta se riferita alla famiglia di righe, ma è falsa se riferita all'insieme delle righe.

Funzioni, insiemi e famiglie[modifica | modifica wikitesto]

Esiste una corrispondenza biunivoca tra le funzioni suriettive e le famiglie, in quanto ogni funzione f con dominio I determina una famiglia (f(i))iI. Diversamente dalle funzioni, una famiglia è concepita come una collezione ed essere un suo elemento equivale ad appartenere al codominio della corrispondente funzione. Una famiglia contiene un qualsiasi elemento esattamente una volta sola se e solo se la corrispondente funzione è iniettiva. Come avviene per gli insiemi, una famiglia è un contenitore e ogni insieme X determina una famiglia (x)xX. In altri termini, ogni insieme è naturalmente interpretabile come una famiglia. Per ogni famiglia (Ai)iI, esiste l'insieme di tutti gli elementi {Ai | iI}, ma quest'ultimo non fornisce alcuna informazione su eventuali appartenenze ripetute di un elemento o sulla struttura di I. In definitiva, il ricorso a un insieme implica la possibile perdita di alcune informazioni.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Operazioni su famiglie[modifica | modifica wikitesto]

Gli insiemi di indici sono spesso utilizzati nelle somme e in altre operazioni di natura simile. Per esempio, se (ai)iI è una famiglia di numeri, la loro somma è usualmente indicata con:

\sum_{i\in I}a_i

Quando (Ai)iI è una famiglia di insiemi, la loro unione si indica con:

\bigcup_{i\in I}A_i

Notazioni analoghe valgono per l'intersezione e il prodotto cartesiano.

Sottofamiglie[modifica | modifica wikitesto]

Una famiglia (Bi)iJ è una sottofamiglia di una famiglia (Ai)iI, se e solo se J è un sottoinsieme di I e per ogni i in J vale:

Bi = Ai

Uso nella teoria delle categorie[modifica | modifica wikitesto]

In generale, un funtore determina una famiglia indicizzata di oggetti in una categoria D, indicizzata su un'altra categoria C tramite un morfismo dipendente da due indici.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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