Relazione transitiva

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In matematica, una relazione binaria R in un insieme X è transitiva se e solo se per ogni a, b, c appartenenti ad X, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora a è in relazione con c. In simboli:

\forall a, b, c  \in X,\ a R b \and b R c \; \Rightarrow a R c

Ad esempio, "è maggiore di" e "è uguale a" sono relazioni transitive: se a = b e b = c, allora a = c.

Non è invece transitiva la relazione "è perpendicolare a": se la retta A è perpendicolare alla retta B, e la retta B è perpendicolare alla retta C allora la retta A non è perpendicolare alla retta C.

Altri esempi di relazioni transitive sono:

Una relazione transitiva che è anche riflessiva è un preordine. Un preordine che è anche antisimmetrico è una relazione d'ordine debole (o relazione d'ordine parziale, in inglese poset). Un preordine simmetrico è una relazione d'equivalenza.

Una relazione binaria si dice invece intransitiva (o antitransitiva) se e solo se per ogni a, b, c appartenenti ad X se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a non è in relazione con c. In simboli:

\forall a, b, c  \in X,\ a R b \and b R c \; \Rightarrow \lnot (a R c)

La relazione "è perpendicolare a", vista sopra, si può considerare intransitiva.

Si noti che intransitivo non è sinonimo di non transitivo, esistono delle relazioni che non sono né transitive né intransitive.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
  • Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.


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