Distribuzione normale

Variabile casuale normale (o di Gauss)

Funzione di densità La linea in verde si riferisce alla variabile casuale normale standardizzata
Funzione di ripartizione I colori corrispondono a quelli delle densità della figura precedente
Parametri	$\mu~\in~\mathbb{R}$, $\sigma^2~\in~(0,\infty)$
Supporto	$\mathbb{R}$
Funzione di densità	$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}$
Funzione di ripartizione	$\frac{1}{2} \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
Valore atteso	μ
Mediana	μ
Moda	μ
Varianza	σ2
Skewness	0
Curtosi	0
Entropia	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
Funz. Gen. dei Momenti	$M_X(x)= \exp\left(\mu\,x+\frac{\sigma^2 x^2}{2}\right)$
Funz. Caratteristica	$\varphi_X(x)=\exp\left(\mu\,i\,x-\frac{\sigma^2 x^2}{2}\right)$

In teoria della probabilità la distribuzione normale, o Gaussiana dal matematico tedesco Carl Friederich Gauss, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio. Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è a forma di campana, nota come Campana di Gauss (o anche come curva degli errori, curva a campana, ogiva).

La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di n variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di n all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali come un semplice modello per fenomeni complessi.

La distribuzione normale dipende da due parametri, la media μ e la varianza σ², ed indicata tradizionalmente con:

$\ N(\mu;\sigma^2).$

Metodologia

La distribuzione normale è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma ^2}} \; e^ {- \frac{\left( x - \mu \right)^2}{2 \sigma ^2}} ~\mbox{ con }~ - \infty < x < \infty$.

Dove μ è il valore atteso e σ² la varianza.
Per dimostrare che p_X(x) è effettivamente una funzione di densità di probabilità si ricorre innanzi tutto alla standardizzazione (statistica) della variabile casuale, cioè alla trasformazione tale per cui risulta:

$Z = \frac{x-\mu}{\sigma}$,

dove la variabile risultante $-\infty<Z<+\infty$ ha anch'essa distribuzione normale con parametri μ = 0 e σ = 1. L'integrale della funzione di densità di probabilità della variabile casuale standardizzata Z è il seguente:

$S = \int_{-\infty}^{+\infty}p_Z(z)dz=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz$

Dato che deve necessariamente valere la condizione S = 1, allora risulta anche S² = 1 quindi:

$S^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}p_Z(z)dz\int_{-\infty}^{+\infty}p_Y(y)dy$

$S^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{z^2+y^2}{2}}dzdy$

dove anche la variabile casuale Y ha distribuzione normale standardizzata. Per risolvere questo integrale doppio si ricorre alle coordinate polari z = ρcos θ e y = ρsin θ, dove $\rho\geq 0$ e $0\leq \theta \leq 2\pi$. La matrice Jacobiana della trasformazione è

$J(\rho,\theta)=\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial z}{\partial\rho} & \frac{\partial z}{\partial\theta} \\ \\ \frac{\partial y}{\partial\rho} & \frac{\partial y}{\partial\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{array}\right]$,

il cui determinante è pari a | J(ρ,θ) | = ρ(cos ²θ + sin ²θ) = ρ. Sostituendo nell'integrale di cui sopra si ottiene:

$S^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-\frac{\rho^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}{2}}|J(\rho,\theta)|d\rho d\theta =\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\rho\ d\rho =1$

La sua funzione generatrice dei momenti è

$g(x) = e^{ \mu x + \sigma ^2 \frac{x^2}{2} }$

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto μ e σ².

Non essendo possibile esprimere l'integrale della p_X(x) in forma chiusa mediante funzioni elementari, è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua funzione di ripartizione. I più usati sono:

68,3% = P{ μ -      σ < X <  μ +      σ }
95,0% = P{ μ - 1,96 σ < X <  μ + 1,96 σ }
95,5% = P{ μ - 2    σ < X <  μ + 2    σ }
99,0% = P{ μ - 2,58 σ < X <  μ + 2,58 σ }
99,7% = P{ μ - 3    σ < X <  μ + 3    σ }

Essendo p_X(x) una funzione simmetrica è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi, per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Snedecor, nonché le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

Teoremi

Combinazione lineare di variabili gaussiane

Se

X₁, X₂, ..., X_n sono n variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso μ_i e varianza σ²_i,

allora

la variabile casuale Y = α₁X₁ + α₂X₂ + ... + α_nX_n è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso μ = α₁μ₁ + α₂μ₂ + ... + α_nμ_n e varianza σ² = α²₁σ²₁ + α²₂σ²₂ + ... + α²_nσ²_n

Altri teoremi: Teorema di Cochran

Relazioni con altre variabili casuali

La Normale come derivazione da altre voci

I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.

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Se X è distribuita come una variabile casuale binomiale con n molto grande (per dare un'idea di quanto grande, possiamo dire che deve essere n>30), e approssimativamente np>10, allora la binomiale può essere approssimata con una Normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N( np ; npq).

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Se X è distribuita come una variabile casuale poissoniana con il parametro λ è molto grande (orientativamente λ > 10), allora la Poissoniana può essere approssimata con una Normale con valore atteso e varianza pari a λ: N( λ ; λ).

Variabili casuali derivate dalla Normale

Date n distribuzioni normali Z₁(0;1); Z₂(0;1); ... Z_n(0;1) con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. allora

χ²_n= Z₁² + Z₂² + .... +Z_n²

è una Variabile casuale chi quadro con n gradi di libertà.

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Siano Z₁, Z₂, Z₃,...,Z_n variabili casuali indipendenti distribuite come una Normale con media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre a₁, a₂, a₃,...,a_n delle costanti tali che

$\lambda=\sum{a_i^2}$

allora si indica con χ'² la v.c. chi quadro non centrale con n gradi di libertà costruita come

$\chi'^2=\sum(Z_i+a_i)^2$

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Se Z~N(0;1) e X~χ²_n, allora T=Z/√X/n è distribuita come una t di Student con n gradi di libertà.

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Se Z~N(0;1) e $T=\beta \left(\tfrac{\alpha Z}{2} + \sqrt{\tfrac{(\alpha Z)^2}{4}+1}\right)^2$ allora T è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri α e β.

La normale nell'inferenza bayesiana

Variabile casuale Gamma come priori coniugati della normale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la normale e la variabile casuale Gamma.

Se X è distribuita come una variabile casuale normale con parametri μ e 1/θ

$f(x|\theta)=N( x | \mu; 1/\theta ) \$

ed il parametro θ è distribuito a priori come una variabile casuale Gamma con i parametri a e b

$g(\theta)=Gamma(\theta|a;b) \$

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una variabile casuale Gamma, ma con parametri a+1/2 e b+(μ-x)²/2

$g(\theta|x)=Gamma(\theta|a+1/2;b+(\mu-x)^2/2) \$

Priori coniugati normale di una normale

Se X è distribuita come una v.c. normale con parametri m e σ²

$f(x|m)=N(x|m;1/r^2) \$

e il parametro m è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri μ e σ²

$g(m)=N(m|\mu;\sigma^2) \$

allora il parametro m è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri (σ²μ + r²x) / (σ² + r²) e (σ²r²) / (σ² + r²)

$g(m|x)=N(m|(\sigma^2 \mu+r^2x)/(\sigma^2+r^2);(\sigma^2r^2)/(\sigma^2+r^2)) \$

Cenni storici

Karl Friedrich Gauss descrisse la Normale studiando il moto dei corpi celesti. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi curva di Gauss e curva degli errori:

Nel 1835 Lambert-Adolphe-Jacques Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una Gaussiana, ma non andò oltre.

Fu Francis Galton a intuire che la curva in questione, da lui detta anche ogiva, poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine Normale, in quanto rappresentava uno substrato normale ovvero la norma per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, Galton - in mancanza di strumenti adeguati - si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.

Voci correlate

• Statistica
• Statistica parametrica
• Parametro (statistica)
• Funzione di ripartizione della variabile casuale normale
• Carl Friedrich Gauss
• v.c. binomiale e poissoniana
• v.c. χ², t di Student, F di Snedecor
• Variabile casuale, variabile casuale continua
• Probabilità
• Integrale di Gauss, integrale di Eulero (vedi anche Pierre Simon Laplace)
• Funzione gaussiana
• Teorema di Cochran
• Test di Shapiro-Wilk, test statistico per la verifica di normalità di un insieme di valori
• Normale

Altri progetti

• Commons

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