Distribuzione normale inversa

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In teoria delle probabilità la distribuzione normale inversa (o gaussiana inversa) è una distribuzione di probabilità continua dipendente da due parametri definita sui numeri reali positivi. È usata tra l'altro nel Modello lineare generalizzato.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Le funzioni di densità di alcune distribuzioni normali inverse.

Una distribuzione normale inversa con parametri \lambda > 0 e \mu > 0 ha come funzione di densità di probabilità

f(x)= \left(\frac{\lambda}{2\pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}}e^{\displaystyle -\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}}

per x > 0.

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

Il valore atteso di una variabile casuale normale inversa X è

 \operatorname{E}(X) = \mu .

La varianza è

\operatorname{Var}(X) = \frac{\mu^3}{\lambda}.

per cui la deviazione standard

\sigma = \sqrt{\frac{\mu^3}{\lambda}}

e il coefficiente di variazione è

\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}.

Il coefficiente di asimmetria viene indicato con

\operatorname{v}(X) = 3\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}.

La funzione caratteristica è data da

\phi_{X}(s) = e^{\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2is}{\lambda}}\right)}.

mentre la funzione generatrice dei momenti della v.c. normale inversa è

m_{X}(s) = e^{\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2s}{\lambda}}\right)}.


Teorema[modifica | modifica sorgente]

Somma di v.c. normali inversa identiche[modifica | modifica sorgente]

Siano X_1, \dots, X_n tutte variabili casuali distribuite come una normale inversa con i parametri \lambda e \mu, allora la loro media \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} è nuovamente una v.c. normale inversa, ma con i parametri n\lambda e \mu.