Distribuzione di Fisher-Snedecor

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Distribuzione di Fisher-Snedecor
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2
Parametri d_1,d_2\in\mathbb{N}\setminus\{0\} (gradi di libertà)
Supporto \mathbb{R}^+
Funzione di densità \frac{1}{\Beta(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2})}\frac{1}{x}\left(\frac{(d_1x)^{d_1}\ d_2^{d_2}}{(d_1x+d_2)^{d_1+d_2}}\right)^\frac{1}{2}
con \Beta la funzione Beta)
Funzione di ripartizione I_{\tfrac{d_1x}{d_1x+d_2}}(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2})
(con I la funzione Beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso \frac{d_2}{d_2-2} se d_2>2
infinita altrimenti
Mediana
Moda 0\ se m\leqslant 2
\frac{m-2}{m}\frac{n}{n+2} se m\geqslant2
Varianza \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)} per n>4
non definita altrimenti
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione di Fisher-Snedecor (o F di Snedecor, o Z di Fisher[1]) è una distribuzione di probabilità continua che regola il rapporto "riscalato" tra due variabili aleatorie che seguono due distribuzioni \chi^2.

Viene impiegata nell'analisi della varianza e in generale per l'omonimo test F.

Prende il nome dai matematici George W. Snedecor (statunitense) e Ronald Fisher (britannico).

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione di Fisher-Snedecor con parametri i numeri naturali (m,n) governa la variabile aleatoria

F=\frac{X/m}{Y/n} ,

dove X e Y sono variabili aleatorie con rispettive distribuzioni chi quadrato con m ed n gradi di libertà, \chi^2(m) e \chi^2(n).

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (m,n) ha funzione di densità di probabilità

f(x)=\frac{1}{\Beta(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2})}\frac{1}{x}\left(\frac{m^mn^nx^m}{(mx+n)^{m+n}}\right)^\frac{1}{2} ,

dove \Beta(\alpha,\beta) è la funzione Beta.

La sua funzione di ripartizione è data dalla funzione Beta incompleta regolarizzata,

F(x)=I_{\tfrac{mx}{mx+n}}(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2}) .

La distribuzione ha momenti semplici di ordine k infiniti per k>n/2, altrimenti pari a

\mu_k=\frac{n^k}{m^k}\cdot\frac{m(m+2)(m+4)\cdots(m+2k-2)}{(n-2)(n-4)(n-6)\cdots(n-2k)} .

In particolare ha

La sua moda è 0 se m\leqslant2 e

\frac{m-2}{m}\frac{n}{n+2} se m\geqslant2 .

Altre distribuzioni[modifica | modifica sorgente]

Per definizione, se una variabile aleatoria F=\tfrac{X/m}{Y/n} segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (m,n), allora la sua inversa F^{-1}=\tfrac{Y/n}{X/m} segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (n,m). Questa relazione permette di esprimere i quantili di una distribuzione in termini dei quantili dell'altra:

P(F^{-1}\leqslant q)=P(F\geqslant q^{-1})=1-P(F\leqslant q^{-1}) .

Una generalizzazione di questa distribuzione è la distribuzione di Fisher-Snedecor non centrale, per la quale la variabile aleatoria X nella definizione di F=\tfrac{X/m}{Y/n} può seguire una distribuzione chi quadrato non centrale.

Se T è una variabile aleatoria con distribuzione t di Student di parametro \nu, allora F=T^2 segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (1,\nu).

Se T^2 è una variabile aleatoria con distribuzione di Hotelling di parametri (p,m), allora F=\tfrac{m-p+1}{mp}T^2 segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (p,m-p+1).

Se la variabile aleatoria F segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (m,n), allora B=\frac{mF}{mF+n} segue la distribuzione Beta \Beta(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2}).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Ross, op. cit., p. 195

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003. ISBN 88-7303-897-2.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]