Funzione elementare

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In matematica, si dice che una funzione è elementare se è scrivibile "in forma chiusa", cioè la trasformata di un arbitrario valore è calcolabile mediante un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni elementari dell'aritmetica, dell'esponenziazione, dei logaritmi, dell'elevamento a potenza e dell'estrazione di radice. Sono incluse in questo elenco anche le funzioni trigonometriche grazie alla formula di Eulero, che le lega all'esponenziale complesso.

È una funzione elementare dunque qualsiasi combinazione, anche complicata, di questi operatori sopra menzionati, come ad esempio

\frac{e^{\tan(x)}}{1-x^2}\sin\left(\sqrt{1+\ln^2 x}\,\right)

Tra le funzioni non elementari troviamo ad esempio la campana di Gauss, la funzione degli errori e la funzione che enumera gli elementi della successione di Fibonacci.

Algebra differenziale[modifica | modifica wikitesto]

In algebra differenziale si trova una definizione astratta di funzione elementare. Ricordiamo che un campo differenziale è un campo equipaggiato di un'operazione unaria di "derivazione", cioè una mappa \partial : \mathcal{K} \rightarrow \mathcal{K} tale che:

Si definisce dunque come funzione elementare su \mathcal{K} un elemento u appartenente all'estensione algebrica \mathcal{K} [u] tale che

  • u è algebrico su \mathcal{K}, o
  • u è un esponenziale, cioè \partial u= u \cdot \partial a, per qualche a in \mathcal{K}, o
  • u è un logaritmo, cioè \partial u= {\partial a \over a}, per qualche a in \mathcal{K}.
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