Funzione G di Barnes

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In matematica, la funzione G di Barnes è una funzione speciale intera che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione dei superfattoriali ed è collegata alla funzione Gamma e alla funzione K. Il suo nome ricorda il matematico inglese Ernest William Barnes (1874-1953) e solitamente viene denotata con G(z).

Definizione

Una possibile definizione della funzione G di Barnes si serve del prodotto di Weierstrass:

$G(z+1):=(2\pi)^{\frac{z}{2}} e^{-\frac{1}{2}[z(z+1)+\gamma z^2]} \prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^n e^{-z+\frac{z^2}{2n}}\right]$

dove γ denota la costante di Eulero-Mascheroni.

Equazione funzionale e conseguenti valori speciali

La G(z) soddisfa l'equazione funzionale

$G(z+1) \,=\, \Gamma(z)\,G(z)$

combinata con la condizione di normalizzazione G(1)=1. Questa equazione implica che la G per argomenti interi assuma i seguenti valori:

$G(n)=\begin{cases} 0&\mbox{if }n=0,-1,-2,\dots\\ \prod_{k=0}^{n-2} k!&\mbox{if }n=1,2,\dots\end{cases}$

e di conseguenza sia esprimibile come

$G(n)=\frac{[\Gamma(n)]^{n-1}}{K(n)}$ ;

qui, insieme alla funzione Gamma, compare la funzione K, per la quale si ha:

$K(n) \,=\, 1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots (n-1)^{n-1}$ .

Sviluppo di Taylor e altri valori particolari

Per $|z|<1$ si ha il seguente sviluppo di Taylor

$\ln G(1+z) = \frac{1}{2}\left(\ln(2\pi)-1\right) - (1-\gamma)\frac{z^2}{2} + \sum_{n=3}^\infty (-1)^{n-1}\zeta(n-1)\frac{z^n}{n}$ ,

dove $\zeta(s)$ denota la funzione zeta di Riemann.

Per la G(x) si trovano i seguenti valori particolari:

$G(1/4) = A^{-9/8}\left(\Gamma(1/4)\right)^{-3/4} e^{3/32-K/(4\pi)}$

$G(3/4) = A^{-9/8}\left(\Gamma(3/4)\right)^{-1/4} e^{3/32+K/(4\pi)}$

$G(1/2) \,=\, A^{-3/2} \pi^{-1/4} e^{1/8} 2^{1/24}$

$G(3/2) \,=\, A^{-3/2} \pi^{1/4} e^{1/8} 2^{1/24}$

$G(5/2) \,=\, A^{-3/2} \pi^{3/4} e^{1/8} 2^{-23/24}$ ;

qui K denota la costante di Catalan, A la costante di Glaisher-Kinkelin per la quale

$A := e^{1/12 -\zeta'(-1)} \approx 1.2824262...$

Bibliografia

• E. W. Barnes "The theory of the double Gamma function" Phil. Trans. Roy. Soc. 196 A, 265-387 (1901)

Collegamenti esterni

• Barnes G-function in MathWorld
• Barnes’ G-Function (Double Gamma Function) in Digital Library of Mathematical Functions
• Contributions to the theory of the Barnes function di V. S. Adamchik

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