Funzione esponenziale

Come funzione della variabile reale x, e^x è sempre positiva e crescente. Il semiasse negativo dell'asse x è un asintoto orizzontale al grafico. La sua funzione inversa.

In matematica, la funzione esponenziale è una funzione a valori nel campo complesso di grande importanza, le cui proprietà ed applicazioni coinvolgono ogni ambito della scienza.

Una delle proprietà fondamentali della funzione esponenziale è il fatto di essere autofunzione degli operatori di derivazione ed integrazione. La funzione è inoltre utilizzata per rappresentare le funzioni trigonometriche attraverso la formula di Eulero, e sta alla base delle più note trasformate integrali.

Definizione formale

La funzione esponenziale exp(z) è una funzione continua definita per ogni numero complesso z nel seguente modo:

$\exp(z) \equiv e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + z + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \cdots$

dove e è il numero di Eulero.

Si tratta di una serie di potenze che converge in modo assoluto per ogni z, e converge in modo uniforme su ogni sottoinsieme chiuso del campo complesso.

Si può definire la funzione esponenziale come la soluzione y dell'equazione:

$z = \int_1^y {dt \over t}$

o come il limite della successione:

$e^z = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^n$

Utilizzando come variabile una matrice quadrata A di rango m si può definire la matrice esponenziale nel seguente modo:

$e^A = \sum_{n = 0}^{\infty} {A^n \over n!} = I + A + {A^2 \over 2!} + {A^3 \over 3!} + {A^4 \over 4!} + \cdots$

dove I è la matrice identica di rango m e Aⁿ è l'elevamento a potenza della matrice.

Equivalenza delle definizioni

Le definizioni:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} \qquad e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$

sono coincidenti. Infatti, grazie al teorema binomiale si ha:

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{n-k} {{x^k} \over {n^k}} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}{{x^k} \over {n^k}}$

dove:

$\ {n \choose k} = \ {n! \over k!(n-k)!} = { \prod_{h=0}^{k-1} {n-h} \over k!}$

Di conseguenza si ottiene:

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}{{x^k} \over {n^k}} = \sum_{k=0}^{n} { \prod_{h=0}^{k-1} {n-h} \over {n^k}} {{x^k} \over {k!}}$

$= \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ {{n-0} \over {n}} {{n-1} \over {n}} {{n-2} \over {n}} ... {{n-(k-1)} \over {n}} \right]$

$= \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]$

Considerando il limite per $\ n \to \infty$ si ha:

$\ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]$

Per ogni addendo della sommatoria il fattore:

$\ \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]$

tende ad 1. Inoltre il passaggio al limite trasforma la serie in una serie infinita:

$\ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} = \sum_{k=0}^{\infty} {{x^k} \over {k!}}$

da cui discende che:

$\ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} {{x^k} \over {k!}}$

Proprietà

La funzione esponenziale (in blu) e la somma dei primi n + 1 termini della serie di potenze attraverso la quale viene definita (in rosso).

La convergenza assoluta della serie che definisce la funzione esponenziale implica che:

$\sum_{k = 0}^{\infty} {a^k \over k!} \sum_{m = 0}^{\infty} {b^m \over m!} = \sum_{n = 0}^{\infty} {n! \over {k!(n-k)!}}a^k b^{n -k} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(a + b)^n \over n!}$

da cui si evince l'importante proprietà:

$\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b) \$

per ogni coppia di numeri complessi a e b.

Si dimostra inoltre che valgono le seguenti proprietà per ogni numero complesso z:

• Il numero exp(z) è diverso da zero.
• La funzione f(z) = exp(z) è uguale alla sua derivata.
• La restrizione della funzione f(z) = exp(z) all'asse reale è una funzione monotona e positiva.
• Esiste un numero π tale che
  • $\exp \left( {i\pi \over 2} \right) = i$
  • $\exp(z) = 1 \$ se e solo se ${z \over 2 \pi i}$ è intero.
• La funzione f(z) = exp() è periodica con periodo 2πi
• La funzione che associa al numero reale t il numero exp(it) parametrizza il cerchio unitario.
• Per ogni numero complesso w esiste un numero z tale che w = exp(z).

Importanza della funzione esponenziale

La derivata della funzione esponenziale è la funzione stessa, infatti:

${d \over dz}\exp(z) = {\mathop {\lim_{h \to 0}} {{\exp \left( {z + h} \right) - \exp \left( z \right)} \over h}} = \exp(z){\mathop {\lim_{h \to 0}} {{\exp \left( {h} \right) - 1 } \over h}} = \exp(z)$

Utilizzando la definizione si ottiene, in modo equivalente:

${d \over dz}\exp(z) = {d \over dz} \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} {n z^{n-1} \over n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} {n z^{n-1} \over n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} {z^{n-1} \over (n-1)!} = \sum_{l = 0}^{\infty} {z^l \over l!} = \exp(z)$

Le funzioni della forma ce^x, con c costante, sono le uniche a godere di tale proprietà: per ogni costante reale la funzione f: R→R soddisfa f′ = kf se e solo se f(x) = ce^kx per una qualche costante c. In modo equivalente si può dire che la pendenza del grafico è in ogni punto pari al valore della funzione stessa.

Per funzioni esponenziali con basi diverse si ha:

${d \over dx} a^x = a^x \ln a$

Ogni esponenziale è quindi multiplo della sua derivata.

Per funzioni esponenziali con basi diverse e una costante moltiplicativa all'esponente si ha:

$\left(a^{cx}\right)' = {a^{cx} \ln a \cdot c } \qquad c > 0$

Tale relazione è sempre vera, ma la derivata è un numero complesso se c < 0.

La funzione f(x) = e^x e le funzioni da essa composte risolvono una classe di equazioni differenziali che esprimono in termini matematici i più importanti problemi fisici. In particolare, questo tipo di funzioni si utilizza quando il tasso di crescita di una grandezza fisica è proporzionale all'entità della grandezza stessa. Molte importanti equazioni differenziali danno origine a funzioni esponenziali, ad esempio l'equazione di Schrödinger, l'equazione di Laplace, o il moto armonico semplice.

Funzione esponenziale e trigonometria

Per approfondire, vedi la voce formula di Eulero.

Interpretazione geometrica della formula di Eulero sul piano complesso.

La formula di Eulero permette di utilizzare la funzione esponenziale per rappresentare le funzioni trigonometriche. La formula afferma che, per ogni numero reale x si ha:

$e^{ix} = \cos x + i\;\mathrm{sen}\,x$

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e permettere la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione e^ix nel piano complesso è un cerchio unitario, ed x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.

Usando le proprietà esponenziali si possono derivare facilmente da esse molte identità trigonometriche e la formula di de Moivre.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\mathrm{sen}\,x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

$e^z = e^{x + iy} = e^{x} e^{iy} =e^x (\cos y + i\sin y) \$

L'esponenziale complesso è una funzione olomorfa e periodica con periodo immaginario 2πi, che mappa ogni retta del piano complesso in una spirale logaritmica con centro nell'origine. Ciò si può vedere osservando che rette parallele all'asse reale e immaginario vengono mappate rispettivamente in una retta e in un cerchio.

Funzione logaritmo complessa

Per approfondire, vedi la voce Logaritmo complesso.

Estendere la definizione di logaritmo naturale a valori complessi porta ad una funzione polidroma, ln(z). A questo punto è possibile definire un'esponenziazione più generale:

$\!\, z^w = e^{w \ln z} \$

per tutti i numeri complessi z e w. Anche questa è una funzione polidroma, e le leggi esponenziali sopracitate rimangono valide se interpretate propriamente come affermazioni sulle funzioni polidrome.

Matrici ed algebra di Banach

La definizione di funzione esponenziale data sopra può essere direttamente utilizzata per ogni algebra di Banach, e in particolare per le matrici quadrate. In questo caso, se xy = yx si ha:

$e^{x + y} = e^x e^y \qquad e^0 = 1 \$

Si ha inoltre che e^x è invertibile, ed il suo inverso è uguale a e^−x, mentre la derivata di exp(x) nel punto x è la mappa lineare che manda u in u · e^x.

Nell'ambito delle algebre di Banach non commutative, come le algebre di matrici o operatori nello spazio di Banach o nello spazio di Hilbert, la funzione esponenziale è spesso considerata come una funzione di argomento reale:

$f(t) = e^{t A} \$

dove A è un elemento dell'algebra fissato e t è un qualsiasi numero reale. Questa funzione possiede alcune importanti proprietà:

$f(s + t) = f(s) f(t) \qquad f(0) = 1 \qquad f'(t) = A f(t) \$

Sulle algebre di Lie

La mappa esponenziale che manda un'algebra di Lie nel gruppo di Lie che dà origine ad essa possiede le proprietà dette sopra, e ciò giustifica la terminologia. Infatti, poiché R è l'algebra di Lie del gruppo di Lie di tutti i numeri reali positivi con la somma, l'ordinaria funzione esponenziale di argomenti reali è un caso speciale della situazione dell'algebra di Lie. Analogamente, poiché l'algebra di Lie M(n, R) di tutte le matrici quadrate appartiene al gruppo di Lie di tutte le matrici quadrate invertibili, la funzione esponenziale per le matrici quadrate è un caso speciale dell'algebra di Lie mappa esponenziale.

Doppia funzione esponenziale

Il termine doppia funzione esponenziale può avere due significati:

• Una funzione con due termini esponenziali, con esponenti diversi.
• Una funzione $f(x)=a^{a^x}$, la quale cresce più velocemente di una funzione esponenziale. Ad esempio, se a = 10: f(−1) = 1.26, f(0) = 10, f(1) = 10¹⁰, f(2) = 10¹⁰⁰ = googol, ..., f(100) = googolplex.

Esempi

Esempio fisico di funzione esponenziale

Un esempio semplice è quello di un oggetto lanciato ad una velocità v₀ in un mezzo viscoso. Se supponiamo che la resistenza posta dal mezzo all'avanzamento dell'oggetto sia proporzionale alla velocità v di quest'ultimo:

$F=-kv \,$

si ha una relazione tra la velocità e la sua variazione nel tempo (l'accelerazione a):

$ma = -k v \,$

ovvero

$m \frac{dv}{dt} = -k v$

È possibile dimostrare che la soluzione di questa equazione è:

$v(t) = v_0 e^{-t/\tau} = v_0 e^{-t/\frac{m}{k}}$

Nel caso di un proiettile sparato nell'aria sarebbe più corretto supporre che la resistenza sia proporzionale al quadrato della velocità, cionondimeno l'andamento della velocità nel tempo è descritto da una funzione formata a partire dalla costante matematica $\emph{e}$.

Calcolo numerico

Per ottenere un'approssimazione numerica della funzione esponenziale, si può scrivere la serie infinita come segue:

$e^x=\frac{1}{0!}+x\left(\frac{1}{1!}+x\left(\frac{1}{2!}+x\left(\frac{1}{3!}+x\left(\frac{1}{4!}+x\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)$

Questa espressione converge rapidamente se x è minore di 1.

In caso contrario, è possibile utilizzare la seguente identità:

$e^x = e^{z+f} = e^z \cdot \left[\frac{1}{0!}+f\left(\frac{1}{1!}+f\left(\frac{1}{2!}+ f\left(\frac{1}{3!}+f\left(\frac{1}{4!}+f\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right]$

dove z = int(x), la parte intera di x, f = x - z e di conseguenza z è un numero intero e f è un numero reale minore di 1.

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341

Voci correlate

• e (costante matematica)
• Logaritmo naturale
• Crescita esponenziale
• Decadimento esponenziale
• Serie esponenziale

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Funzione esponenziale complessa su PlanetMath

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