Funzioni di Mathieu

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In matematica, le funzioni di Mathieu sono funzioni speciali utili per trattare una varietà di problemi interessanti della matematica applicata quali:

Queste funzioni sono state introdotte nel 1868 dal matematico francese Emile Mathieu (1835-1890) per affrontare il primo dei problemi sopra accennati.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni di Mathieu sono definite come le soluzioni dell'equazione di Mathieu

 \frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]\,y=0 .

La sostituzione x \rightarrow \arccos(x) consente di dare a questa equazione la forma razionale

 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x}{1-x^2} \, \frac{d y}{dx} + \frac{( 4x^2-2) \, q -a}{1-x^2} \, y

Questa presenta due singolarità regolari per x = -1,1 e una singolarità irregolare all'infinito; questo implica che in generale (contrariamente a quanto accade alla maggior parte delle funzioni speciali) le soluzioni dell'equazione di Mathieu non possono essere espresse in termini di funzioni ipergeometriche.

Soluzione di Floquet[modifica | modifica wikitesto]

Grazie al teorema di Floquet, per valori fissati di a e q, l'equazione di Mathieu ammette una soluzione a valori complessi della forma

F(a,q,x) = \exp(i \mu) \, P(a,q,x)

dove \mu è un numero complesso, chiamato esponente di Mathieu, e P è una funzione a valori complessi che è periodica con periodo \pi. Tuttavia in generale la P non è sinusoidale. Nel grafico che segue viene visualizzato il caso nel quale a=1, \, q=\frac{1}{5}, \, \mu \approx 1 + 0.0995 i (parte reale in rosso, parte immaginaria in verde):

MathieuFloquet.gif

Funzioni seno e coseno di Mathieu[modifica | modifica wikitesto]

Per a e q fissati, si definisce funzione coseno di Mathieu \,C(a,q,\xi) una funzione di \xi definita come l'unica soluzione dell'equazione di Mathieu la quale

  1. assume il valore \,C(a,q,0)=1,
  2. è una funzione pari, o equivalentemente ha per la derivata C^\prime(a,q,0)=0.

Similmente si definisce come funzione seno di Mathieu \,S(a,q,\xi) l'unica soluzione la quale

  1. assume il valore \,S(a,q,0)=0,
  2. è una funzione dispari, o equivalentemente ha per la derivata S^\prime(a,q,0)=1.

Queste sono funzioni a valori reali strettamente collegate alla soluzione di Floquet:

 C(a,q,x) = \frac{\exp(i \mu)}{F(a,q,0)} \, \frac{P(a,q,x) + P(a,q,-x)}{2}
 S(a,q,x) = \frac{\exp(i \mu)}{F(a,q,0)} \, \frac{P(a,q,x) - P(a,q,-x)}{2}

La soluzione generale dell'equazione di Mathieu (per valori fissati di a e q) è una combinazione lineare delle funzioni coseno e seno di Mathieu.

Un caso speciale notevole è

C(a,0,x) = \cos(\sqrt{a} x), \;\; S(a,0,x) = \frac{\sin(\sqrt{a} x)}{\sqrt{a}}

In generale, seno e coseno di Mathieu sono funzioni aperiodiche. Ciò nonostante, per piccoli valori di q, si hanno le uguaglianze approssimate

 C(a,q,x) \approx \cos(\sqrt{a} x), \;\; C^\prime(a,q,x) \approx \sqrt{a} \cos (\sqrt{a} x)

Ad esempio:

Rosso: C(0.3,0.1,x).
Rosso: C'(0.3,0.1,x).


Soluzioni periodiche[modifica | modifica wikitesto]

Dato q, per un insieme numerabile di valori speciali di a, chiamati valori caratteristici, l'equazione di Mathieu ammette soluzioni periodiche di periodo 2\pi. I valori caratteristici del coseno e del seno di Mathieu li denotiamo rispettivamente con \,a_n(q) e \,b_n(q), dove n corre sui numeri naturali. Le speciali funzioni coseno e seno di Mathieu periodiche sono spesso scritte CE(n,q,x), \, SE(n,q,x) rispettivamente; tradizionalmente venivano invece normalizzate diversamente con una diversa normalizzazione consistente nella richiesta che la loro norma L2 fosse uguale a \pi). Quindi per valori positivi della q abbiamo

C \left( a_n(q),q,x \right) = \frac{CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}
S \left( b_n(q),q,x \right) = \frac{SE(n,q,x)}{SE^\prime(n,q,0)}

Qui sono presentate le prime poche funzioni coseno di Mathieu che sono periodiche relative a q = 1:

MathieuCE.gif

Si noti che, ad esempio, \,CE(1,1,x) (in verde) assomiglia a una funzione coseno, ma presenta elevazioni più smussare e vallate più allargate.

Motori di calcolo simbolico[modifica | modifica wikitesto]

Nei sistemi computazionali Maple e Mathematica sono implementate varie funzioni speciali collegate alle funzioni di Mathieu.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]


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