Funzioni di Mathieu

In matematica, le funzioni di Mathieu sono funzioni speciali utili per trattare una varietà di problemi interessanti della matematica applicata quali:

• membrane vibranti ellittiche,
• vari problemi concernenti la risonanza parametrica,
• soluzioni esatte di onda piana in relatività generale.

Queste funzioni sono state introdotte nel 1868 dal matematico francese Emile Mathieu (1835-1890) per affrontare il primo dei problemi sopra accennati.

Definizione

Le funzioni di Mathieu sono definite come le soluzioni dell'equazione di Mathieu

$\frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]\,y=0$ .

La sostituzione $x \rightarrow \arccos(x)$ consente di dare a questa equazione la forma razionale

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x}{1-x^2} \, \frac{d y}{dx} + \frac{( 4x^2-2) \, q -a}{1-x^2} \, y$

Questa presenta due singolarità regolari per x = -1,1 e una singolarità irregolare all'infinito; questo implica che in generale (contrariamente a quanto accade alla maggior parte delle funzioni speciali) le soluzioni dell'equazione di Mathieu non possono essere espresse in termini di funzioni ipergeometriche.

Soluzione di Floquet

Grazie al teorema di Floquet, per valori fissati di a e q, l'equazione di Mathieu ammette una soluzione a valori complessi della forma

$F(a,q,x) = \exp(i \mu) \, P(a,q,x)$

dove $\mu$ è un numero complesso, chiamato esponente di Mathieu, e P è una funzione a valori complessi che è periodica con periodo $\pi$. Tuttavia in generale la P non è sinusoidale. Nel grafico che segue viene visualizzato il caso nel quale $a=1, \, q=\frac{1}{5}, \, \mu \approx 1 + 0.0995 i$ (parte reale in rosso, parte immaginaria in verde):

Funzioni seno e coseno di Mathieu

Per a e q fissati, si definisce funzione coseno di Mathieu $\,C(a,q,\xi)$ una funzione di $\xi$ definita come l'unica soluzione dell'equazione di Mathieu la quale

1. assume il valore $\,C(a,q,0)=1$,
2. è una funzione pari, o equivalentemente ha per la derivata $C^\prime(a,q,0)=0$.

Similmente si definisce come funzione seno di Mathieu $\,S(a,q,\xi)$ l'unica soluzione la quale

1. assume il valore $\,S(a,q,0)=0$,
2. è una funzione dispari, o equivalentemente ha per la derivata $S^\prime(a,q,0)=1$.

Queste sono funzioni a valori reali strettamente collegate alla soluzione di Floquet:

$C(a,q,x) = \frac{\exp(i \mu)}{F(a,q,0)} \, \frac{P(a,q,x) + P(a,q,-x)}{2}$

$S(a,q,x) = \frac{\exp(i \mu)}{F(a,q,0)} \, \frac{P(a,q,x) - P(a,q,-x)}{2}$

La soluzione generale dell'equazione di Mathieu (per valori fissati di a e q) è una combinazione lineare delle funzioni coseno e seno di Mathieu.

Un caso speciale notevole è

$C(a,0,x) = \cos(\sqrt{a} x), \;\; S(a,0,x) = \frac{\sin(\sqrt{a} x)}{\sqrt{a}}$

In generale, seno e coseno di Mathieu sono funzioni aperiodiche. Ciò nonostante, per piccoli valori di q, si hanno le uguaglianze approssimate

$C(a,q,x) \approx \cos(\sqrt{a} x), \;\; C^\prime(a,q,x) \approx \sqrt{a} \cos (\sqrt{a} x)$

Ad esempio:

Rosso: C(0.3,0.1,x).

Rosso: C'(0.3,0.1,x).

Soluzioni periodiche

Dato q, per un insieme numerabile di valori speciali di a, chiamati valori caratteristici, l'equazione di Mathieu ammette soluzioni periodiche di periodo $2\pi$. I valori caratteristici del coseno e del seno di Mathieu li denotiamo rispettivamente con $\,a_n(q)$ e $\,b_n(q)$, dove n corre sui numeri naturali. Le speciali funzioni coseno e seno di Mathieu periodiche sono spesso scritte $CE(n,q,x), \, SE(n,q,x)$ rispettivamente; tradizionalmente venivano invece normalizzate diversamente con una diversa normalizzazione consistente nella richiesta che la loro norma L² fosse uguale a $\pi$). Quindi per valori positivi della q abbiamo

$C \left( a_n(q),q,x \right) = \frac{CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}$

$S \left( b_n(q),q,x \right) = \frac{SE(n,q,x)}{SE^\prime(n,q,0)}$

Qui sono presentate le prime poche funzioni coseno di Mathieu che sono periodiche relative a q = 1:

Si noti che, ad esempio, $\,CE(1,1,x)$ (in verde) assomiglia a una funzione coseno, ma presenta elevazioni più smussare e vallate più allargate.

Motori di calcolo simbolico

Nei sistemi computazionali Maple e Mathematica sono implementate varie funzioni speciali collegate alle funzioni di Mathieu.

Voci correlate

• Onda elettromagnetica piana monocromatica, esempio di un'importante soluzione esatta di onda piana dell'equazione del campo di Einstein in relatività generale espressa mediante le funzioni coseno di Mathieu.
• Pendolo invertito

Collegamenti esterni

• Mathieu function in Mathworld
• [1] in Wolfram functions site.
• Mathieu equation in EqWorld
• Julio C. Gutiérrez-Vega theory and numerical analysis of the Mathieu functions

Bibliografia

• Emile Mathieu Mémoire sur le mouvement vibratoire d'une membrane de forme elliptique. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (2) 13, 137 (1868).
• Pierre Humbert Fonctions de Lamé et fonctions de Mathieu Mémorial des sciences mathématiques, n° 10 (Gauthier-Villars, Parigi, 1926).
• E. G. C. Poole Introduction to the theory of linear differential equations p. 178 (Clarendon Press, Oxford, 1936)
• E. T. Whittaker e G. N. Watson Modern Analysis p. 404 (Cambridge University Press, 1927)
• M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) p. 721
• N. W. McLachlan (1962): Theory and application of Mathieu functions, Dover, (ISBN non disponibile) (ristampa della edizione del 1947) Digital Library of India, immagini TIFF delle pagine IIT Digita Library of India imaggini TIFF dei pagine IISc

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