Funzione beta di Dirichlet

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In matematica la funzione beta di Dirichlet, nota anche come funzione beta di Catalan, è una funzione speciale strettamente collegata alla funzione zeta di Riemann. È una particolare L-funzione di Dirichlet, la L-funzione per il carattere alternato di periodo quattro.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La funzione beta di Dirichlet è definita come

\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s},

o anche

\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx.

In entrambe le definizioni si assume che Re(s)>0.

È anche possibile definirla in termini della funzione zeta di Hurwitz valida nell'intero piano complesso s:

\beta(s) = 4^{-s} \left( \zeta(s,{{1} \over {4}})-\zeta(s, {{3} \over {4}}) \right).

Equazione funzionale[modifica | modifica sorgente]

L'equazione funzionale estende la funzione beta al lato sinistro del piano complesso, cioè quello con Re(s)<0. È definita come

\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) 
\cos \frac{\pi s}{2}\,\beta(1-s)

dove Γ(s) è la funzione Gamma.

Valori speciali[modifica | modifica sorgente]

Alcuni valori notevoli della funzione beta di Dirichlet sono:

\beta(0)= \frac{1}{2} ,
\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4} ,
\beta(2)\;=\;K,

dove K è la costante di Catalan, e

\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}.
\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}
\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}

Più in generale, per ogni intero positivo k:

\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2n}}} \over {2(2k!)}} ({1 \over 2}{\pi})^{2k+1} ,

dove  \!\ E_{n} sono i numeri di Eulero. Per interi k ≤ 0, questa si estende in:

\beta(k)={{E_{k}} \over {2}}.

quindi la funzione si azzera per tutti i valori integrali negativi dispari dell'argomento.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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