Logaritmo

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Il grafico della funzione logaritmo in base 2

In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.[1]

Per esempio, il logaritmo in base 10 di 1000 è 3, poiché bisogna elevare 10 alla terza potenza per ottenere 1000, ovvero 10^3= 1000. Più in generale, se x=a^y, allora y è il logaritmo in base a di x, ovvero, scritto in notazione matematica

y=\log_a x.

I logaritmi furono introdotti da Nepero all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di tavole di logaritmi.

La funzione \log_a(x) (logaritmo in base a di x) è la funzione inversa dell'elevamento a potenza in base a, ovvero di a^x.

È di importanza fondamentale il logaritmo naturale, ovvero il logaritmo che ha come base il numero di Nepero (indicato con e\approx 2,718); esso è l'inverso della funzione esponenziale e^x.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce logaritmo in base a di un numero x l'esponente da dare ad a per ottenere x (x viene chiamato argomento del logaritmo). In altre parole, se

x = a^y

si scrive che

y = \log_a x

(si legge: y è il logaritmo in base a di x).

Nell'equazione y=\log_a x il membro di sinistra y è la risposta alla domanda "A quale numero bisogna elevare a per ottenere x?".

Per essere definito, la base a deve essere un numero positivo reale diverso da 1, e x deve essere un numero reale positivo. Queste ipotesi sono necessarie per fare in modo che il logaritmo esista e sia unico. Infatti:

  • Se a=0 e x\neq 0, non esistono y tali che x=a^y.
  • Se a=0 e x=0, ne esistono infiniti.
  • Se a=1 e x\neq 1, non esistono y. (Non esiste nessun numero – a parte 1 stesso – che possa essere ottenuto attraverso una potenza di 1. Infatti 1 elevato a qualunque numero dà sempre 1).
  • Se a=1 e x=1, ne esistono infiniti. (Possiamo elevare 1 a qualsiasi numero ma otterremo sempre 1).
  • Se a<0, l'elevamento a potenza a^y non è definito per tutti i numeri reali y (può essere definito solo sui naturali e in generale sui razionali esprimibili con una frazione con denominatore dispari).
  • Il risultato di un elevamento a potenza (di un numero positivo, per l'osservazione precedente) è un numero positivo, quindi deve essere x>0.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Per esempio, \log_3 81=4 perché 3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81.

I logaritmi possono anche essere negativi (a differenza della base e dell'argomento). Infatti

\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)=-1

poiché 3^{-1}=\frac{1}{3}.

Proprietà dei logaritmi[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Identità sui logaritmi.

Dalle relazioni a^1=a e a^0=1, che valgono qualsiasi sia la base a, derivano le proprietà di base:

\log_a {a} = 1
\log_a 1 = 0

Inoltre, dalla definizione segue che:

a^{\log_a x} = \log_a {a^x} = x

Prodotto, quoziente, potenza e radice[modifica | modifica wikitesto]

Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo del prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi. Allo stesso modo, il logaritmo del quoziente di due numeri non è altro che la differenza tra i logaritmi degli stessi. In altre parole valgono

 \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y
Dimostrazione

Il logaritmo  \log_a (x) è, per definizione, l'esponente che si deve mettere alla base a per ottenere x come risultato:

 a^{\log_a (x)} = x

Se scriviamo:

a^{\log_a(x)}=x
a^{\log_a(y)}=y

Usando le regole dell'esponenziale:

a^{\log_a(x)} \cdot a^{\log_a(y)}=a^{\log_a(x)+\log_a(y)}=xy

Applicando il logaritmo ad ambo i membri:

 a^{\log_a(x)+\log_a(y)}=xy\Longrightarrow \log_a(a^{\log_a(x)+\log_a(y)})=\log_a(xy)
\log_a(a^{\log_a(x)+\log_a(y)}) rappresenta quel numero che si deve mettere come esponente alla base a per ottenere  a^{\log_a(x)+\log_a(y)}.

Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:

 \log_a (x)+ \log_a (y)
\log_a(a^{\log_a(x)+\log_a(y)})=\log_a(xy)\Longrightarrow \log_a(x)+\log_a(y)=\log_a(xy)
 \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
Dimostrazione

Se scriviamo:

a^{\log_a(x)}=x
a^{\log_a(y)}=y

Usando le regole dell'esponenziale:

\frac{a^{\log_a(x)}}{a^{\log_a(y)}}=a^{\log_a(x)-\log_a(y)}=\frac{x}{y}

Applicando il logaritmo ad ambo i membri:

 a^{\log_a(x)-\log_a(y)}=\frac{x}{y}\Longrightarrow \log_a(a^{\log_a(x)-\log_a(y)})=\log_a(\frac{x}{y})
\log_a(a^{\log_a(x)-\log_a(y)}) rappresenta quel numero che si deve mettere come esponente alla base a per ottenere  a^{\log_a(x)-\log_a(y)}.

Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:

 \log_a (x)- \log_a (y)
\log_a(a^{\log_a(x)-\log_a(y)})=\log_a\left(\frac{x}{y}\right)\Longrightarrow \log_a(x)-\log_a(y)=\log_a\left(\frac{x}{y}\right)

Inoltre, il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza k è uguale a k moltiplicato per il logaritmo del numero stesso. Da questo discende che il logaritmo della radice k-esima di un numero è uguale all'inverso di k per il logaritmo del numero, e che il logaritmo dell'inverso di un numero è l'opposto del logaritmo del numero stesso. In altre parole valgono le formule:

 \log_a x^k = k \cdot \log_a x
Dimostrazione

Se scriviamo:

{\left(a^{\log_a x}\right)}^k=x^k

Usando le regole dell'esponenziale:

{\left(a^{\log_a x}\right)}^k=x^k\Longrightarrow a^{k\log_a(x)}=x^k

Questo significa che k\log_a(x) è l'esponente da dare alla base a per ottenere x^k, ovvero usando i logaritmi:

 k\log_a(x)=\log_a(x^k)\Longrightarrow \log_a(x^k)=k\log_a(x)
\log_a\sqrt[k]{x} = \frac{1}{k}\log_a(x)
 \log_a {\frac{1}{x}} = -\log_a x.

Cambiamento di base[modifica | modifica wikitesto]

Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi 10 ed e).

Se b, x, e k sono tutti numeri reali positivi (con b\neq 1 e k\neq 1):

\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}

dove k è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente

\log_k b\cdot \log_b x = \log_k x

e segue dalla relazione

 k^{\log_k b\cdot \log_b x} = (k^{\log_k b})^{\log_b x} = b^{\log_b x} = x.

Dalla formula del cambiamento di base, ponendo k=x, si ricava la relazione seguente:

\log_b x =\frac{1}{\log_x b}.

Basi del logaritmo[modifica | modifica wikitesto]

Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da 1, quelle più utilizzate sono tre:

  • base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log10, più genericamente con log, più raramente con Log.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo dei logaritmi fu proposto dallo scozzese Nepero nel 1614, in un libro intitolato Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblicò i suoi risultati sei anni dopo Nepero.

Per sottrazioni successive, Nepero calcolò (1-10^{-7})^L per L da 1 a 100; il risultato per L=100 è approssimativamente 0,99999, ovvero 1-10^{-5}. Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per 10^7(1-10^{-5})^L, con L da 1 a 50. Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero N da 5 a 10 milioni, il numero L che risolve l'equazione

N=10^7(1-10^7)^L.

Nepero chiamò inizialmente questo valore un "numero artificiale", ma successivamente introdusse il nome "logaritmo", dalle parole del greco "logos", proporzione, e "arithmos", numero. Usando una notazione moderna, i calcoli di Nepero gli permisero di calcolare

L = \log_{(1-10^{-7})} \!\left( \frac{N}{10^7} \right) \approx 10^7 \log_{ \frac{1}{e}} \!\left( \frac{N}{10^7} \right) = -10^7 \log_e \!\left( \frac{N}{10^7} \right),

dove l'approssimazione compiuta corrisponde alla seguente:

{(1-10^{-7})}^{10^7} \approx \frac{1}{e}.

L'invenzione di Nepero fu subito largamente acclamata: i lavori di Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (Cina) e Giovanni Keplero (Germania) permisero di diffondere velocemente l'idea.

Nel 1647, il fiammingo Gregorio di San Vincenzo collegò i logaritmi alla quadratura dell'iperbole, dimostrando che l'area A(t) sottesa da 1 a t soddisfa

A(tu) = A(t) + A(u).

Il logaritmo naturale fu per la prima volta descritto da Nicolaus Mercator nel suo scritto Logarithmotechnia pubblicato nel 1668, anche se precedentemente l'insegnante di matematica John Speidell aveva compilato una tavola di logaritmi naturali nel 1619.

Intorno al 1730, Eulero definì la funzione esponenziale e la funzione logaritmo come

e^x = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n,
\ln(x) = \lim_{n \rightarrow +\infty} n(x^{1/n} - 1).

Eulero inoltre dimostrò che queste due funzioni erano una l'inversa dell'altra.

Tavole dei logaritmi e applicazioni storiche[modifica | modifica wikitesto]

Semplificando calcoli complessi, i logaritmi contribuirono ampiamente all'avanzamento della scienza, e in particolare dell'astronomia. Lo strumento che ne permise l'uso pratico furono le tavole dei logaritmi. La prima di esse fu completata da Henry Briggs nel 1617, subito dopo l'invenzione di Nepero. Successivamente, furono scritte altre tavole con diversi scopi e precisione. In esse veniva elencato il valore di log_b(x) e di b^x per ogni numero x in un certo intervallo, con una precisione fissata e con una base b scelta (solitamente b=10). Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base 10 di tutti i numeri da 1 a 1000, con una precisione di otto cifre decimali. La funzione b^x, poiché inversa del logaritmo, venne chiamata antilogaritmo.

Il prodotto e il quoziente di due numeri c e d venivano così calcolati con rispettivamente la somma e la differenza dei loro logaritmi. Il prodotto cd è l'antilogaritmo della somma dei logaritmi di c e d:

cd = b^{\log_b (c)} b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)}.

Il quoziente c/d è l'antilogaritmo della differenza dei logaritmi di c e d:

\frac{c}{d} = cd^{-1} = b^{\log_b (c) - \log_b (d)}.

Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell'utilizzo di metodi precedenti, come quello di prostaferesi.

Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a moltiplicazione e divisione di logaritmi:

c^d = (b^{\log_b (c) })^d = b^{d \log_b (c)}

e

\sqrt[d]{c} = c^{\frac 1 d} = b^{\frac{1}{d} \log_b (c)}.

Funzione logaritmo[modifica | modifica wikitesto]

Logaritmi con varie basi: rosso per la base e, verde per la base 10 e viola per la base 1,7. Come si può notare, tutte le funzioni passano per il punto (1, 0).

La funzione logaritmo è la funzione

f(x) = \log_b(x).

La funzione è definita sulla semiretta (0,+\infty). In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base b. La curva rossa è per la funzione con base b=e costante di Nepero (valore approssimato: 2,718\dots) Come si può notare dal grafico, il campo d'esistenza, e quindi il dominio della funzione logaritmo (l'insieme entro cui variano i valori delle x), è compreso nei valori tra (0,+\infty);mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle y, è R. Quindi si capisce che si può lavorare e sono verificate soltanto quelle funzioni logaritmo che hanno l'argomento maggiore strettamente a 0.

Derivata[modifica | modifica wikitesto]

La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:

\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x \ln b} = \frac{\log_b e}{x}

dove ln è il logaritmo naturale, cioè con base e. In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel calcolo infinitesimale:

\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.

Dimostrazione con la funzione inversa[modifica | modifica wikitesto]

L'eguaglianza è dimostrabile usando la regola della funzione inversa:

\left( f^{-1} \right)' \left( y_0 \right ) = \frac{1}{f' \left( x_0 \right)}

La funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale, la cui derivata coincide con se stessa:

\frac{d}{dx}e^x =e^x.

Ne segue:

\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{\frac{d e^{\ln x}}{d\ln x}} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}.

Dimostrazione tramite definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:

\frac{d}{dx} \log_b x = \lim_{h \to 0}\frac{\log_b (x+h)-\log_b x}{h}
=\lim_{h\to 0} \frac{\log_b(\frac{x+h}{x})}{h}
=\lim_{h\to 0} \frac{\log_b\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}
=\lim_{h\to 0} \frac{\log_b\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}x}

e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:

=\frac{1}{x \ln b}.

Convessità e concavità[modifica | modifica wikitesto]

La derivata seconda della funzione logaritmo è

\frac{d^2}{dx^2} \log_b x = -\frac{1}{x^2 \ln b}.

Se b>1, questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi funzione concava. Se b<1 è invece sempre positivo e la funzione è convessa.

Integrale[modifica | modifica wikitesto]

La funzione logaritmo è continua e quindi integrabile. La funzione integrale del logaritmo, con base generica b, è (applicando l'integrazione per parti):

\int \log_b x \,dx = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C

dove C è la generica costante di integrazione.

Funzione analitica[modifica | modifica wikitesto]

La funzione logaritmo è analitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola serie di potenze (come avviene ad esempio per la funzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto R>0 ha infatti raggio di convergenza R ed è quindi convergente solo nell'intervallo (0,2R). Ad esempio, lo sviluppo in R=1 è il seguente:

\ln (1+x) = \sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} \frac{x^i}{i} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots

Logaritmo complesso[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Logaritmo complesso.
Grafico del logaritmo complesso: l'altezza rappresenta il modulo ed il colore l'angolo.

La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi diversi da zero; nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso vale la formula seguente

\ln{z} = \ln{|z|} + i\left(\arg z+2\pi k\right), z \in \mathbb{C}

essendo i l'unità immaginaria e \arg z l'argomento di z. Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori, determinati dal parametro intero k.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S.K. Kate e H.R. Bhapkar, 1 in Basics Of Mathematics, Technical Publications, 2009, ISBN 978-81-8431-755-8.

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