Logaritmo

In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso. La funzione logaritmo in base a è la funzione inversa della funzione esponenziale in base a.

Definizione

Si dice logaritmo in base a di un numero x l'esponente da dare ad a per ottenere x (x viene chiamato argomento del logaritmo). In altre parole, se

$x = a^y\,$

segue che:

$y = \log_a x\,$

(si legge: y è il logaritmo in base a di x).

Per esempio, log₃ 81 = 4 perché 3⁴ = 81.

Il logaritmo è utile soprattutto perché trasforma prodotti in somme, i rapporti in differenze, elevamenti a potenza in moltiplicazioni e radicali in divisioni. Valgono cioè le relazioni:

$\log_a (x\cdot y) = \log_a (x) + \log_a(y),\,\!$

$\log_a \left ( \frac{x}{y} \right ) = \log_a (x) - \log_a(y),\,\!$

$\log_a(x^k) = k\log_a(x).\,\!$

$\log_a\sqrt[k]{x} = \frac{1}{k}\log_a(x).\,\!$

dove a, x e y sono numeri reali positivi, con a diverso da 1.

Cenni storici

I logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, fissata una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi, il logaritmo di un quoziente alla loro differenza e, soprattutto, il logaritmo di una potenza è il prodotto del logaritmo della base della potenza per l'esponente al quale dobbiamo elevarla: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma, un quoziente in una differenza, un elevamento a potenza in un prodotto e, addirittura, un'operazione "complicatissima" come l'estrazione di radice ennesima in una semplice divisione per n. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore.

Henry Briggs trattò i logaritmi decimali in Logarithmorum Chilias Prima nel 1617, dove calcolò i logaritmi da 1 a 1000, ciascuno fino alla quattordicesima cifra decimale.

Definizione

Sia a un numero reale positivo diverso da 1 e x un numero reale positivo. Il logaritmo

$y=\log_a x\,\!$

è l'unico esponente per cui vale la relazione

$x = a^y.\,\!$

L'operazione di logaritmo è l'esponente da dare ad a per ottenere l'argomento x. Nel caso $y=\log_3 9\,\!,$ y è l'esponente da dare a 3 per ottenere 9, quindi $y=2\,\!.$

Buona definizione

Le ipotesi su a e x sono necessarie per ottenere una buona definizione di y. Infatti:

• Se a = 0 e $x\neq 0$, non esistono y tali che x = a^y.
• Se a = 0 e x = 0, ne esistono infiniti.
• Se a = 1 e $x\neq 1$, non esistono y. (Non esiste nessun numero – a parte 1 stesso – che possa essere ottenuto attraverso una potenza di 1. Infatti 1 elevato a qualunque numero dà sempre uno).
• Se a = 1 e x = 1, ne esistono infiniti. (Possiamo elevare 1 a qualsiasi numero ma otterremo sempre 1).
• Se a < 0, l'elevamento a potenza a^y non è definito per tutti i numeri reali y (può essere definito solo sui naturali e in generale sui razionali esprimibili con una frazione con denominatore dispari).
• Il risultato di un elevamento a potenza (di un numero positivo, per l'osservazione precedente) è un numero positivo, quindi deve essere x > 0.

Base del logaritmo

Basi più comuni

Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da 1, quelle più utilizzate sono tre:

• base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log₁₀, più genericamente con log, più raramente con Log.

• base e (logaritmi naturali o neperiani), usati nel calcolo infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara).

• base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log₂, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara).

Cambiamento di base

Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi 10 ed e).
Se b, x, e k sono tutti numeri reali positivi (con b ≠ 1 e k ≠ 1):

$\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$

dove k è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente

$\log_k b\cdot \log_b x = \log_k x\,\!$

e segue dalla relazione

$k^{\log_k b\cdot \log_b x} = (k^{\log_k b})^{\log_b x} = b^{\log_b x} = x.$

Dalla formula del cambiamento di base, ponendo k = x, si ricava la relazione seguente:

$\log_b x =\frac{1}{\log_x b }$

Proprietà dei logaritmi

• Il logaritmo in base a di a è 1:

$\log_a {a} = 1\,\!$

• Il logaritmo di 1 è, in qualsiasi base, 0:

$\log_m 1 = 0\,\!$

• Vale l'identità:

$a^{\log_a x} = \log_a {a^x} = x$

• Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei due numeri:

$\log_m (a \cdot b) = \log_m a + \log_m b$

Dimostrazione

Il logaritmo log _m(a) è, per definizione, l'esponente che si deve mettere alla base m per ottenere a come risultato:

$m^{\log_m (a)} = a$

Se scriviamo:

$m^{\log_m(a)}=a$

$m^{\log_m(b)}=b$

Usando le regole dell'esponenziale:

$m^{\log_m(a)} \cdot m^{\log_m(b)}=m^{\log_m(a)+\log_m(b)}=ab$

Applicando il logaritmo ad ambo i membri:

$m^{\log_m(a)+\log_m(b)}=ab\Longrightarrow \log_m(m^{\log_m(a)+\log_m(b)})=\log_m(ab)$

$\log_m(m^{\log_m(a)+\log_m(b)})$ rappresenta quel numero che si deve mettere come esponente alla base m per ottenere $m^{\log_m(a)+\log_m(b)}$.

Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:

log _m(a) + log _m(b)

$\log_m(m^{\log_m(a)+\log_m(b)})=\log_m(ab)\Longrightarrow \log_m(a)+\log_m(b)=\log_m(ab)$

• Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore:

$\log_m \frac{a}{b} = \log_m a - \log_m b$

Dimostrazione

Se scriviamo:

$m^{\log_m(a)}=a$

$m^{\log_m(b)}=b$

Usando le regole dell'esponenziale:

$\frac{m^{\log_m(a)}}{m^{\log_m(b)}}=m^{\log_m(a)-\log_m(b)}=\frac{a}{b}$

Applicando il logaritmo ad ambo i membri:

$m^{\log_m(a)-\log_m(b)}=\frac{a}{b}\Longrightarrow \log_m(m^{\log_m(a)-\log_m(b)})=\log_m(\frac{a}{b})$

$\log_m(m^{\log_m(a)-\log_m(b)})$ rappresenta quel numero che si deve mettere come esponente alla base m per ottenere $m^{\log_m(a)-\log_m(b)}$.

Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:

log _m(a) − log _m(b)

$\log_m(m^{\log_m(a)-\log_m(b)})=\log_m(\frac{a}{b})\Longrightarrow \log_m(a)-\log_m(b)=\log_m(\frac{a}{b})$

• Il logaritmo dell'inverso di a è l'opposto del logaritmo di a:

$\log_m {\frac {1} {a}} = -\log_m a$

• Il logaritmo di un numero elevato all'esponente k è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero:

$\log_m a^k = k \cdot \log_m a$

Dimostrazione

Se scriviamo:

${m^{\log_m(a)}}^k=a^k$

Usando le regole dell'esponenziale:

${m^{\log_m(a)}}^k=a^k\Longrightarrow m^{k\log_m(a)}=a^k$

Questo significa che klog _m(a) è l'esponente da dare alla base m per ottenere a^k, ovverosia usando i logaritmi:

$k\log_m(a)=\log_m(a^k)\Longrightarrow \log_m(a^k)=k\log_m(a)$

• Il logaritmo della radice k di x è uguale al quoziente tra il logaritmo e k:

$\log_a\sqrt[k]{x} = \frac{1}{k}\log_a(x).\,\!$

Relazione con l'esponenziale

Ciascuna delle relazioni elencate precedentemente è conseguenza di una analoga relazione per la funzione esponenziale. Ad esempio, la relazione

$\log_m (a \cdot b) = \log_m a + \log_m b$

è equivalente all'uguaglianza

$m^{k+h} = m^k\cdot m^h.$

Brevemente, l'esponenziale trasforma somme in prodotti, e quindi il logaritmo trasforma prodotti in somme. Formalmente,

$\log_m (a \cdot b) = \log_m (m^{\log_m a}\cdot m^{\log_m b}) = \log_m(m^{\log_m a + \log_m b}) = \log_m a + \log_m b.$

Analogamente, la relazione

$\log_m a^k = k \cdot \log_m a$

è equivalente alla relazione

$(m^h)^k = m^{hk}.\,\!$

Funzione logaritmo

Logaritmi con varie basi: rosso per la base e, verde per la base 10 e viola per la base 1,7. Come si può notare, tutte le funzioni passano per il punto (1, 0).

La funzione logaritmo è la funzione

$f(x) = \log_b(x). \,\!$

La funzione è definita sulla semiretta $(0,+\infty)$. In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base b. La curva rossa è per la funzione con base b=e costante di Nepero (valore approssimato: 2,718...) Come si può notare dal grafico, il campo d'esistenza, e quindi il dominio della funzione logaritmo (l'insieme entro cui variano i valori delle x), è compreso nei valori tra $(0,+\infty)$;mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle y, è R. Quindi si capisce che si può lavorare e sono verificate soltanto quelle funzioni logaritmo che hanno l'argomento maggiore strettamente a 0.

Derivata

La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:

$\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x \ln b} = \frac{\log_b e}{x}$

dove ln è il logaritmo naturale, cioè con base e. In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel calcolo infinitesimale:

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac 1x.$

Dimostrazione con la funzione inversa

L'eguaglianza è dimostrabile usando la regola della funzione inversa:

$\left( f^{-1} \right)' \left( y_0 \right ) = \frac{1}{f' \left( x_0 \right)}$

La funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale, la cui derivata coincide con se stessa:

$\frac{d}{dx}e^x =e^x.$

Ne segue:

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{\frac{d e^{\ln x}}{d\ln x}} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}.$

Dimostrazione tramite definizione

Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:

$\frac{d}{dx} \log_b x = \lim_{h \to 0}\frac{\log_b (x+h)-\log_b x}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{\log_b(\frac{x+h}{x})}{h} =\lim_{h\to 0} \frac{\log_b\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{\log_b\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}x}$

e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:

$=\frac{1}{x \ln b}.$

Convessità e concavità

La derivata seconda della funzione logaritmo è

$\frac{d^2}{dx^2} \log_b x = -\frac{1}{x^2 \ln b}.$

Se b > 1, questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi funzione concava. Se b < 1 è invece sempre positivo e la funzione è convessa.

Integrale

La funzione logaritmo è continua e quindi integrabile. La funzione integrale del logaritmo, con base generica b, è (applicando l'integrazione per parti):

$\int \log_b x \,dx = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

dove C è la generica costante di integrazione.

Funzione analitica

La funzione logaritmo è analitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola serie di potenze (come avviene ad esempio per la funzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto R > 0 ha infatti raggio di convergenza R ed è quindi convergente solo nell'intervallo (0,2R). Ad esempio, lo sviluppo in R = 1 è il seguente:

$\ln (1+x) = \sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} \frac{x^i}{i} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\!$

Logaritmo complesso

Per approfondire, vedi la voce Logaritmo complesso.

Grafico del logaritmo complesso: l'altezza rappresenta il modulo ed il colore l'angolo.

La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi diversi da zero; nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso vale la formula seguente

$\ln{z} = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{arg}\ z+2\pi k\right), z \in \mathbb{C}$

essendo i l'unità immaginaria e arg z l'argomento di z. Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori, determinati dal parametro intero k.

Voci correlate

• Identità sui logaritmi
• Scala logaritmica

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Logaritmi in MathWorld

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