Logaritmo complesso

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Grafico del logaritmo complesso. L'altezza descrive il modulo dell'immagine, mentre l'angolo è determinato dal colore.

Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi.

Per i numeri reali si ha la seguente relazione:

y = \ln (x) \Leftrightarrow x = e^y \mbox{ con }  x \in \mathbb{R}^+, y \in \mathbb{R}

Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:

w= \ln (z) \Leftrightarrow z = e^w \mbox{ con }  w, z \in \mathbb{C} .

Con l'unica condizione z\neq0.

Quest'ultima relazione permette di ottenere la formula risolutiva di \ln (z) .

Si scrive z in forma esponenziale

z = \rho \, e^{i \theta}

Quindi

\rho \, e^{i \theta} = z = e^w = e^{u+iv} = e^u \cdot e^{iv}

Dove u e v rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita \ln (z) . Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano u e v:

|z| = \rho = e^u \Longrightarrow u = \ln |z|
e^{i \theta} = e^{iv} \Longrightarrow v = \arg (z)

Si può quindi scrivere

\ln(z) = \ln \! |z| + i \arg(z)

Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che \arg(z) contiene tutti i numeri del tipo \theta + 2k \pi, con k \in \mathbb{Z} . Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.

Curiosità sul logaritmo complesso[modifica | modifica wikitesto]

Ricordando l'Identità di Eulero: e^{i \pi} = -1, è facile ottenere una curiosa, quanto affascinante, definizione di \pi : applicando il logaritmo si ha infatti:

\ln(e^{i \pi}) = \ln(-1)

i \pi = \ln(-1)

 \pi = \displaystyle\frac{\ln(-1)}{i}

Il numero trascendente pi greco è così descritto in termini di quantità complesse, e logaritmi apparentemente impossibili. Per spiegare l'impossibilità solo apparente di ciò, si può all'inverso applicare la definizione di logaritmo complesso principale a -1:

\ln(-1)=\ln\vert -1\vert+i\!\text{ arg}(-1)=\ln 1+i\pi=0+i\pi=i\pi

e si ricava nuovamente

\frac{\ln(-1)}{i}=\pi

Logaritmo principale[modifica | modifica wikitesto]

Per poter considerare il logaritmo complesso come una funzione è necessario definire il suo valore principale:


\ln (z) = \ln |z| + i \arg(z) \mbox{ con } -\pi < \arg(z) <  \pi


Il Logaritmo principale è analitico su tutto \mathbb{C} escluso l'origine (dove il logaritmo non è definito) e il semiasse reale negativo (dove l'argomento ha un salto di discontinuità pari a 2 \pi).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica