Logaritmo naturale

Grafico di y=ln(x)

Il logaritmo naturale, descritto per la prima volta da Nepero, è il logaritmo in base e, dove e è uguale a 2,71828... Il logaritmo naturale è definito per tutte le x reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.

Definizione

Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che ln(x) è il numero per cui $e^{\ln(x)} = x$. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le x positive e reali.

In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:

Il logaritmo naturale di $a$ è l'area sottesa dal grafico di $1/x$ da 1 ad $a$. In altre parole, è il risultato dell'integrale

$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx\quad\quad\text{ per ogni }a>0$.

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

Questo può essere dimostrato definendo $t=x/a$ e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

$\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b)$

Il numero $e$ può essere definito come l'unico numero reale $a$ tale che $\ln(a) = 1$.

Convenzioni

• I matematici sono soliti utilizzare la scrittura "ln(x)" per intendere log_e(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log₁₀(x) è il logaritmo in base 10 di x).
• Ingegneri, biologi e altre professioni generalmente scrivono "ln(x)" o (raramente) "log_e(x)" per intendere il logaritmo naturale di x, mentre per "log(x)" sottintendono log₁₀(x).
• Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
• Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base 10.

La funzione inversa dell'esponenziale in base e

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale:

$e^{\ln(x)} = x$      per tutte le x positive e

$\ln(e^x) = x \,\!$      per tutte le x reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base positiva escluso 1, non solo e, e possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

Derivata

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da:

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$

Serie comuni

La serie di Taylor centrata in 1 del logaritmo naturale è:

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \text{ per } -1<x\le1$

Utilizzando l'identità

$\ln x =\operatorname {artanh} \, \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right) \text{ per } x > 0$

e sostituendo $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene

$\ln x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac1{2n+1} \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{2n+1} \text{ per } x > 0$

Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni x con valore assoluto maggiore di 1:

$\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots$

Si noti inoltre che $x \over {x-1}$ è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero y è sufficiente sostituire $y \over {y-1}$ al posto di x.

Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:

$\frac1{\ln x} = \frac1{x-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{-n}}{ 1+ x^{2^{ -n}}} \text{ per } x > 0$

Integrali e regole di integrazione

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:

$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.$

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma g(x) = f '(x)/f(x) che si traducono nella scrittura ln(|f(x)|): l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

$\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.$

Cioè

$\int { dx \over x} = \ln|x| + C$

e

$\int { {f^'(x) \over f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.$

Esempi

Se g(x) = tg(x), allora:

$\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx$

$\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.$

Se f(x) = cos(x) e f'(x) = sen(x), allora:

$\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C$

$\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C$

dove C è la costante arbitraria degli integrali indefiniti.

Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base 10. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di 10):

$\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$

che diventa:

$\log_e x = \frac{\log x}{\log e}$

ricordando che log(e) equivale a scrivere log₁₀(e).

Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:

$\log e = 0,43429...$

e

$\frac{1}{\log e} = 2{,}30258...$.

Voci correlate

• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche
• Serie di Mercator

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