Tangente (matematica)

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Dato un triangolo rettangolo, la tangente di un angolo è definita come il rapporto tra il seno ed il coseno dello stesso angolo

Dato un triangolo rettangolo, la tangente (abbreviato tan) è una funzione trigonometrica definita come il rapporto tra il seno ed il coseno dello stesso angolo. I simboli per indicare la tangente sono i più numerosi di tutte le funzioni trigonometriche, giacché essa si indica anche con tg, tn, tang, tng (raro). Il nome della funzione deriva dal fatto che può esser definita come la lunghezza di un segmento della tangente (in senso geometrico) alla circonferenza goniometrica. Infatti, dato un cerchio di raggio unitario, la tangente di un angolo α è l'ordinata del punto di intersezione tra la retta che contiene il lato libero dell'angolo e la retta tangente alla circonferenza nel punto di coordinate (1;0).


Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se osserviamo la figura vediamo che i triangoli OAB e OCD sono simili, quindi:

\quad\!\frac {AB}{OA}=\frac {DC}{OC};\quad\quad\frac{\tan x}{1}=\frac {DC}{OC}

espressione che giustifica graficamente la definizione trigonometrica della tangente:

\tan x =\frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}

La tangente è una funzione periodica con periodo \pi ovvero:

\tan x=\tan(x+k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.

La derivata prima della tangente è:

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x=\frac {1}{\cos^2x}=1+\tan^2x=sec^2x

La funzione primitiva della tangente è:

\int_0^x\tan{t} \,\mathrm{d}t=-\ln{\left|\cos{x}\right|}

Lo sviluppo di Taylor della funzione tangente al settimo ordine è

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + o(x^8)

La tangente è una funzione dispari, ovvero:

\tan (-x)=-\tan x \;.

Il reciproco della tangente è detto cotangente:

\cot x = \frac 1{\tan x}

La funzione inversa della tangente è l'arcotangente.

La tangentoide

La tabella seguente elenca i principali valori notevoli assunti dalla funzione tangente:

x in radianti 0 \frac \pi 6 \frac \pi 4 \frac \pi 3 \frac \pi 2 \pi \frac {3\pi} 2 2 \pi
x in gradi 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
\tan(x) 0 \frac {\sqrt 3} 3 1 \sqrt 3 \nexists 0 \nexists 0

La funzione tan x non è definita per valori di  x = \frac{\pi}{2} + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}

Geometria analitica[modifica | modifica wikitesto]

\tan x = m = \frac {\mathrm{sen}\, x}{\cos x} = \frac {y}{x}

Possiamo anche definire la tangente come il coefficiente angolare di una retta. In questo caso rappresenta la tangente trigonometrica dell'angolo che la retta stessa forma con l'asse delle x. Per renderci conto della veridicità di questa affermazione, ricordiamo che il coefficiente angolare di una retta passante per due punti, siano P = (x_0 , y_0) e Q = (x_1 , y_1), è esattamente \frac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0}, che equivale al rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo compreso tra la retta e l'asse delle x.

Seno e coseno[modifica | modifica wikitesto]

Per ottenere i valori del seno e del coseno di x conoscendone la tangente possiamo fare un semplice ragionamento. Innanzitutto pensiamo \tan x come il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di un punto P sulla circonferenza centrata nell'origine O degli assi (il raggio è ininfluente poiché il valore della tangente è univocamente determinato). Possiamo considerare queste ascissa e ordinata come i cateti del triangolo rettangolo che ha il raggio OP come ipotenusa. Da questo punto di vista il seno di x è il rapporto tra l'ordinata di P e l'ipotenusa OP, mentre il coseno di x è il rapporto tra l'ascissa di P e l'ipotenusa OP.

Applicando il teorema di Pitagora possiamo dire, dato

\tan x = \frac {a}{b}

che:

\mathrm{sen}\, x = \frac {a}{\sqrt {a^2 + b^2}}
\cos x = \frac {b}{\sqrt {a^2 + b^2}}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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