Radiante

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Un angolo misurato in radianti.

Alcuni angoli misurati in radianti

Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario, dato che è un numero puro, da non confondere con l'unità di misura della dose di radiazione assorbita) è l'unità di misura degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura (più precisamente si tratta di una unità derivata). Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza spazzato dall'angolo, e la lunghezza del raggio di tale circonferenza.

Questa unità di misura è usata in particolare in trigonometria, in goniometria e nel calcolo infinitesimale,

[modifica] Definizione di radiante

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo e il suo arco intercettato dalle due semirette che formano l'angolo. Chiameremo ℓ la lunghezza di tale arco, r quella del raggio, c quella della circonferenza e α l'ampiezza dell'angolo descritto dall'arco.

Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:

$c = 2 \pi r \$

si può scrivere la seguente proporzione:

$\frac{\alpha ^{(\circ)}}{l} = \frac{360^\circ}{2\pi r}$

α risulta funzione di $l \,$ :

$\alpha ^{(\circ)} = f \left( l \right)$

ovvero

$\alpha ^{(\circ)} (l) = \frac{360^\circ \cdot l}{2\pi r}$

da cui

$\alpha ^{(\circ)} (l) = \frac{l}{r} \cdot \frac{360^\circ }{2\pi}$

Definiamo come radiante l'ampiezza dell'arco di circonferenza che, rettificato, sia uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Dunque, ponendo ℓ = r, dall'equazione precedente si ottiene:

$\alpha ^{(\circ)} (l = r) = \frac{360^\circ }{2\pi} \approx 57{,}29578^\circ \approx 57^\circ \ 17' \ 44{,}8'' = 1\;\mbox{rad}$

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

$360^\circ = \frac{2\pi }{2\pi} \cdot 360^\circ = 2\pi \cdot \frac{360^\circ }{2\pi} = 2\pi\;\mbox{rad}$

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

$\frac{\alpha^{(\circ)}}{\alpha^{\mathrm{rad}}} = \frac{360^\circ}{2\pi}$

$\alpha ^{(\circ)} = \frac{360^\circ}{2\pi} \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}$

$\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{2\pi }{360^\circ} \cdot \alpha ^{(\circ)}$

Infine, dalla proporzione $\frac{l}{2\pi r} = \frac{\alpha^{\mathrm{rad}}}{2\pi}$ si ottiene:

$\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{l}{r}$

$l = r \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}$

Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1].

[modifica] Utilità della scelta del radiante

La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando come unità di misura per gli angoli in gradi sessagesimali od altre unità.

Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sen} \, x}{x}=1$

e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste

$\frac{d}{dx} \mathrm{sen} \, x = \cos x$

$\mathrm{sen} \, x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} - ...$

$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} - ...$ .

Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere infarcite da costanti di conversione e da loro potenze.