Radiante

Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario) è l'unità di misura dell'ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee, è un numero puro.

Definizione di radiante[modifica | modifica wikitesto]

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo. Siano $l$ la lunghezza dell'arco intercettato dall'angolo sulla circonferenza, $r$ quella del raggio della circonferenza, $c$ quella della circonferenza e $\alpha$ l'ampiezza dell'angolo. Il rapporto $l/r$ non dipende dalla lunghezza del raggio, ma solo dall'ampiezza dell'angolo. Questa circostanza permette di definire la misura in radianti dell'angolo come:

\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}};

l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }.

Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Infatti: [rad] = [L] / [L] = [1].

Definiamo come radiante l'ampiezza dell'angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Essendo la lunghezza della circonferenza $c$ pari a $2\pi r$ e il raggio lungo $r$ , l'angolo di un cerchio equivale a $2\pi$ .

\alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .

Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:

c=2\pi r,

si può scrivere la seguente proporzione:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},

$\alpha$ risulta funzione di $l$ :

\alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),

ossia

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},

da cui

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}.

Dunque, ponendo $l=r$ , dall'equazione precedente si ottiene:

\alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

\alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }

\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.

Utilità della scelta del radiante[modifica | modifica wikitesto]

La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.

Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots

Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere appesantite da costanti di conversione e da loro potenze.