Teorema dei seni

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Un triangolo generico con le comuni notazioni

In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.

a=\overline{BC},\alpha=C\hat AB
b=\overline{AC},\beta=A\hat BC
c=\overline{AB},\gamma=B\hat CA

Vale quindi

\frac a{\mathrm{sen} \,\alpha}=\frac b{\mathrm{sen} \,\beta}=\frac c{\mathrm{sen} \,\gamma}=\frac{abc}{2S}=2R

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.

La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:

a:b:c=\mathrm{sen} \, \alpha:\mathrm{sen} \, \beta:\mathrm{sen} \, \gamma.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Risoluzione di un triangolo con il teorema dei seni

Il teorema può essere adoperato

  • per determinare il raggio del cerchio circoscritto:
R=\frac a{2 \, \mathrm{sen} \, \alpha}
  • per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo ed il lato opposto (vedere figura a lato):
\alpha=\mathrm{arcsen} \,\frac{a \, \mathrm{sen} \,\beta}b.

L'immagine è sbagliata, l'angolo α nel disegno non è quello con il punto interrogativo ma quell'altro!


Generalizzazione alle geometrie non euclidee[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi geometrie non euclidee.
Triangolo sferico: dimensioni ridotte a, b e c; angoli α, β e γ

Per una superficie non euclidea dalla curvatura K, il raggio di curvatura ρ è

\rho=1/\sqrt{|K|}.

Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:

a=\overline{BC}/\rho,
b=\overline{AC}/\rho,
c=\overline{AB}/\rho.

Nel caso di un triangolo sferico, a, b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC], [AC] e [AB] (vedere figura).

Geometria sferica[modifica | modifica wikitesto]

In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ, il teorema del seno è espresso da

\frac{\mathrm{sen} \, a}{\mathrm{sen} \, \alpha}=\frac{\mathrm{sen} \, b}{\mathrm{sen} \, \beta}=\frac{\mathrm{sen} \, c}{\mathrm{sen} \, \gamma}=\frac{6 V_{OABC}}{\rho^3 \, \mathrm{sen} \, a \ \mathrm{sen} \, b \ \mathrm{sen} \, c},

dove VOABC è il volume del tetraedro OABC.

Geometria iperbolica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi geometria iperbolica.

In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con

\frac{\mathrm{senh} \, a}{\mathrm{sen} \,\alpha}=\frac{\mathrm{senh} \, b}{\mathrm{sen} \,\beta}=\frac{\mathrm{senh} \, c}{\mathrm{sen} \,\gamma}.

Generalizzazione al tridimensionale (euclideo)[modifica | modifica wikitesto]

Tetraedro: facce ed angoli diedri

Si consideri un tetraedro A1A2A3A4 nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce ed angoli del tetraedro:

  • Sk la faccia opposta al vertice Ak;
  • sk la superficie di Sk;
  • Δk il piano su cui giace Sk;
  • θij l'angolo diedro \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.

Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice A1 si definisce nel modo seguente:

\mathrm{sen} \, A_1=\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34}}}{\mathrm{sen} \, \theta_{23} \ \mathrm{sen} \, \theta_{24} \ \mathrm{sen} \, \theta_{34}};

E in modo analogo per gli altri angoli triedri.

Vale quindi

\frac{s_1}{\mathrm{sen} \, A_1}=\frac{s_2}{\mathrm{sen} \, A_2}=\frac{s_3}{\mathrm{sen} \, A_3}=\frac{s_4}{\mathrm{sen} \, A_4}=\frac{2s_1s_2s_3s_4}{9V},

dove V è il volume del tetraedro.

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