Teorema dei seni

Un triangolo generico con le comuni notazioni

In trigonometria, il teorema dei seni esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.

$a=\overline{BC},\alpha=C\hat AB$

$b=\overline{AC},\beta=A\hat BC$

$c=\overline{AB},\gamma=B\hat CA$

Vale quindi

$\frac a{\mathrm{sen} \,\alpha}=\frac b{\mathrm{sen} \,\beta}=\frac c{\mathrm{sen} \,\gamma}=\frac{abc}{2S}=2R$

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.

La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:

$a:b:c=\mathrm{sen} \, \alpha:\mathrm{sen} \, \beta:\mathrm{sen} \, \gamma$.

Applicazioni

Risoluzione di un triangolo con il teorema dei seni

Il teorema può essere adoperato

• per determinare il raggio del cerchio circoscritto:

$R=\frac a{2 \, \mathrm{sen} \, \alpha}$

• per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo ed il lato opposto (vedere figura a lato):

$\alpha=\mathrm{arcsen} \,\frac{a \, \mathrm{sen} \,\beta}b$.

L'immagine è sbagliata, l'angolo α nel disegno non è quello con il punto interrogativo ma quell'altro!

Generalizzazione alle geometrie non euclidee

Per approfondire, vedi geometrie non euclidee.

Triangolo sferico: dimensioni ridotte a, b e c; angoli α, β e γ

Per una superficie non euclidea dalla curvatura K, il raggio di curvatura ρ è

$\rho=1/\sqrt{|K|}$.

Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:

$a=\overline{BC}/\rho$,

$b=\overline{AC}/\rho$,

$c=\overline{AB}/\rho$.

Nel caso di un triangolo sferico, a, b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC], [AC] e [AB] (vedere figura).

Geometria sferica

In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ, il teorema del seno è espresso da

$\frac{\mathrm{sen} \, a}{\mathrm{sen} \, \alpha}=\frac{\mathrm{sen} \, b}{\mathrm{sen} \, \beta}=\frac{\mathrm{sen} \, c}{\mathrm{sen} \, \gamma}=\frac{6 V_{OABC}}{\rho^3 \, \mathrm{sen} \, a \ \mathrm{sen} \, b \ \mathrm{sen} \, c}$,

dove V_OABC è il volume del tetraedro OABC.

Geometria iperbolica

Per approfondire, vedi geometria iperbolica.

In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con

$\frac{\mathrm{senh} \, a}{\mathrm{sen} \,\alpha}=\frac{\mathrm{senh} \, b}{\mathrm{sen} \,\beta}=\frac{\mathrm{senh} \, c}{\mathrm{sen} \,\gamma}$.

Generalizzazione al tridimensionale (euclideo)

Tetraedro: facce ed angoli diedri

Si consideri un tetraedro A₁A₂A₃A₄ nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce ed angoli del tetraedro:

• S_k la faccia opposta al vertice A_k;
• s_k la superficie di S_k;
• Δ_k il piano su cui giace S_k;
• θ_ij l'angolo diedro $\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}$.

Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice A₁ si definisce nel modo seguente:

$\mathrm{sen} \, A_1=\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34}}}{\mathrm{sen} \, \theta_{23} \ \mathrm{sen} \, \theta_{24} \ \mathrm{sen} \, \theta_{34}}$;

E in modo analogo per gli altri angoli triedri.

Vale quindi

$\frac{s_1}{\mathrm{sen} \, A_1}=\frac{s_2}{\mathrm{sen} \, A_2}=\frac{s_3}{\mathrm{sen} \, A_3}=\frac{s_4}{\mathrm{sen} \, A_4}=\frac{2s_1s_2s_3s_4}{9V}$,

dove V è il volume del tetraedro.

Voci correlate

• Teorema della corda

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Collegamenti esterni

• (EN) teorema dei seni

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