Coseno

Dato un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo acuto è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all'angolo e dell'ipotenusa

Dato un triangolo rettangolo, il coseno (o abbreviato cos) di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all'angolo e dell'ipotenusa.

Più in generale, il coseno di un angolo α, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da α, costruita usando la circonferenza unitaria.

Definendo come cos(x) il valore del coseno nell'angolo x, si ottiene la funzione coseno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica.

Definizione

Nel triangolo rosso in figura, il coseno di x è dato da

$\cos{x} = \frac {\overline{OC}}{\overline{OD}}$

Più in generale, si definisce il coseno prendendo una circonferenza di raggio unitario ed una semiretta uscente dall'origine che forma un angolo x con l'asse delle ascisse come in figura. Il coseno dell'angolo x è quindi definito come il valore della coordinata x del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento OC).

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione coseno:

X in radianti	0	$\frac \pi 6$	$\frac \pi 4$	$\frac \pi 3$	$\frac \pi 2$	$\pi$	$\frac {3\pi} 2$	$2 \pi$
X in gradi	0	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
$\cos(x)$	1	$\frac {\sqrt 3} 2$	$\frac {\sqrt 2} 2$	$\frac 1 2$	0	-1	0	1

Funzione coseno

La funzione coseno è definita associando ad x il coseno dell'angolo x (rappresentato in radianti), ed è indicata con $f(x) = \cos{x}$. Poiché x e x + 2$k$π definiscono lo stesso angolo per qualsiasi $k$ intero, la funzione coseno è una funzione periodica di periodo 2π (2π è l'angolo giro). La curva del grafico di questa funzione viene denominata cosinusoide. L'insieme di variabilità della funzione coseno è $[-1, 1]$, ossia applicando tale funzione a qualunque numero reale si ottiene sempre un numero reale compreso tra $-1$ e $1$, estremi inclusi.

Rappresentazione grafica di un periodo della cosinusoide (tra 0 e $2\pi$).

Coseno e seno

Valori principali (coseno, seno)

Per approfondire, vedi la voce seno (trigonometria).

Tra seno e coseno esiste la relazione fondamentale, detta equazione fondamentale della trigonometria, o unità goniometrica:

${\sin}^{2}{x} + {\cos}^{2}{x} = 1\,$

che è conseguenza del teorema di Pitagora.

Proprietà analitiche del coseno

La derivata della funzione coseno è l'opposto della funzione seno. Si ha cioè:

$(\cos x)^{\prime}=-\sin x.$

Questo può essere dimostrato applicando una formula di prostaferesi per calcolare il limite del rapporto incrementale del coseno:

$\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{-2 \sin \frac{2x+h}{2}\sin \frac{h}{2}}{h} = -\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\sin(x+\frac{h}{2}) \underset{h \rightarrow 0}{\longrightarrow} -\sin x$.

La derivata seconda del coseno è la funzione stessa cambiata di segno:

$(\cos x)^{\prime \prime} = -\cos x$;

pertanto, la funzione coseno (così come la funzione seno) risolve l'equazione differenziale

$y^{\prime\prime}+ky=0$,

che descrive il moto di un oscillatore armonico non quantistico ideale libero.

La funzione coseno è una funzione a derivate equilimitate (si ha infatti $|y^{(k)}| \le 1$ per ogni $k$), ed è pertanto analitica; la sua espansione in serie di Taylor è

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ $= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

per ogni $x$ reale.

In analisi matematica questa uguaglianza è spesso usata per definire il coseno. La stessa serie definisce il coseno come funzione olomorfa su tutto il piano complesso.

Equazioni fondamentali relative al coseno

Vale la seguente formula di addizione (e sottrazione) di archi:

$\cos(x\pm y) = \cos x\cos y \mp \sin x\sin y\,$,

e in particolare la formula di duplicazione

$\cos{(2x)} = \cos^2x - \sin^2x = 1 - 2\sin^2x = 2\cos^2x - 1\,$.

Le seguenti sono le formule di prostaferesi relative al coseno:

$\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$

$\cos{x} - \cos{y} = -2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}$.

Vale anche la catena di diseguaglianze:

$0 < x\cos x < \sin x < x \quad \text{ per } \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}.$

Dimostrazione

Si consideri la circonferenza unitaria, e sia $0 < x < \pi/2$, come in figura.

Si tracci la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo x (antiorario) rispetto al semiasse positivo delle ascisse. Allora le coordinate del punto di intersezione P della semiretta con la circonferenza sono (cos x, sin x). Si tracci il segmento che unisce P al punto A (1,0). Sia inoltre T il punto di intersezione tra la semiretta e la retta di ascissa 1 (asse delle tangenti). T ha coordinate (1, tan x).

Notiamo che il triangolo POA è strettamente racchiuso nel settore circolare POA, il quale a sua volta è racchiuso strettamente nel triangolo TOA. Vale allora la diseguaglianza delle rispettive aree (si ricordi che x è l'angolo, espresso in radianti):

$0 < \frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\frac{\sin x}{\cos x}$

ossia

$0 < \sin x < x < \frac{\sin x}{\cos x}$.

Dalla prima parte della diseguaglianza si ricava che $0 < \sin x < x$, mentre manipolando la seconda, dividendo cioè per $\sin x$ (il che è possibile perché $\sin x > 0$), si ha che:

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$

ossia

$\sin x \cos x < x \cos x < \sin x \,$

dove alla fine si è moltiplicato per $\sin x$ e per $\cos x$, il che preserva il verso della diseguaglianza perché sono entrambi positivi. Ricapitolando i risultati,

$0 < x \cos x < \sin x < x \,$

Q.E.D..

Esiste anche un'identità trigonometrica che relaziona la funzione coseno alla funzione tangente:

$\cos{x} = \frac{1-\tau^2}{1+\tau^2} \quad \text{ con }\quad \tau = \tan\frac{x}{2}$.

Questa identità si rivela di fondamentale importanza nella risoluzione di equazioni goniometriche in cui l'incognita figuri come argomento sia di un seno sia di un coseno (o di funzioni derivate da queste). Esiste, infatti, un'analoga identità per quanto riguarda il seno, il che permette la risoluzione dell'equazione nell'incognita $\tau$. Allo stesso modo, si può sfruttare questa relazione per il calcolo delle primitive di funzioni goniometriche.

Definizioni correlate

• Il reciproco del coseno (definito dove il coseno è diverso da zero) è la secante:

$\sec x =\frac 1{\cos x}$

• La funzione coseno è iniettiva sull'intervallo $[0,\pi]$ ed ha quindi una inversa, chiamata arcocoseno (indicato con $\arccos$ o a volte con l'equivoca espressione $\cos^{-1}$).

Origine del nome

Per approfondire, vedi la voce Seno (matematica)#Storia e origine del nome.

Il termine coseno sta per "complementare del seno". Infatti, per angoli tra 0 e $\pi/2$, il coseno di un angolo è il seno dell'angolo complementare, cioè

$\cos{x} = \sin\left(\frac \pi 2 \pm x\right).$

Questa relazione, che si ricava dalle formule di somma di archi, è valida per ogni $x$; tuttavia la nozione geometrica di angolo complementare si applica solo a angoli positivi, e quindi compresi tra 0 e $\pi/2$.

Voci correlate

• Seno
• Legge del coseno
• Formula di Eulero
• Cosinusoide

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