Formule di duplicazione

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Le formule di duplicazione nella trigonometria servono per calcolare il seno, il coseno e la tangente di 2{\alpha} avendo il valore di seno, coseno o tangente di \alpha. Sono ottenibili direttamente a partire dalle più generali formule di addizione delle funzioni trigonometriche nel caso particolare \alpha = \beta.

Seno[modifica | modifica sorgente]

\begin{align}\sin(2\alpha)&= \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) \\ &= 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\end{align}

Coseno[modifica | modifica sorgente]

\begin{align}\cos(2\alpha) &= \cos(\alpha)\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\sin(\alpha) \\ &= \cos^{2}(\alpha) - \sin^{2}(\alpha)\end{align}

Essendo \sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1, tale formula può anche essere riscritta come:

  • \cos(2\alpha) = [1 - \sin^{2}(\alpha)] -\sin^{2}(\alpha) = 1 - 2\sin^{2}(\alpha)
  • \cos(2\alpha) = \cos^{2}(\alpha) - [1 - \cos^{2}(\alpha)] = 2\cos^{2}(\alpha) - 1

Tangente[modifica | modifica sorgente]

\begin{align}\tan(2\alpha)&= \frac{\tan(\alpha)+\tan(\alpha)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\alpha)} \\ &= \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}\end{align}

La formula ammette soluzione per \tan(\alpha) \neq \pm 1, ovvero per:

\alpha \neq {\pi\over 4} + k{\pi\over 2},\quad k \in \Z

In corrispondenza di tali valori la formula tende all'infinito, ed in particolare:

  • \lim_{\alpha\to({\pi\over 4}+ k{\pi\over 2})^{-}}\tan(2\alpha) = +\infty
  • \lim_{\alpha\to({\pi\over 4}+ k{\pi\over 2})^{+}}\tan(2\alpha) = -\infty
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