Formule di duplicazione

Le formule di duplicazione nella trigonometria servono per calcolare il seno, il coseno e la tangente di $2{\alpha }$ avendo il valore di seno, coseno o tangente di $\alpha$. Sono ottenibili direttamente a partire dalle più generali formule di addizione delle funzioni trigonometriche nel caso particolare $\alpha =\beta$.

Per il seno e il coseno si ha:

$\sin(2\alpha )=\sin(\alpha )\cos(\alpha )+\cos(\alpha )\sin(\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha );$

$\cos(2\alpha )=\cos(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\alpha )\sin(\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha .$

Poiché $\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$, tale formula può anche essere riscritta come:

• $\cos(2\alpha )=(1-\sin ^{2}\alpha )-\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha ;$
• $\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -(1-\cos ^{2}\alpha )=2\cos ^{2}\alpha -1.$

Per la tangente si ha:

$\tan(2\alpha )={\frac {\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan(\alpha )\tan(\alpha )}}={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }},$

e la soprastante formula è valida per $\tan \alpha \neq \pm 1$, ossia per:

$\alpha \neq {\pi \over 4}+k{\pi \over 2},\quad k\in \mathbb {Z} .$

In corrispondenza di tali valori la formula tende all'infinito, ed in particolare:

• $\lim _{\alpha \to ({\pi \over 4}+k{\pi \over 2})^{-}}\tan(2\alpha )=+\infty ;$
• $\lim _{\alpha \to ({\pi \over 4}+k{\pi \over 2})^{+}}\tan(2\alpha )=-\infty .$