Costanti trigonometriche esatte

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

Tavola delle espressioni

I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

0° - valori fondamentali

$\sin 0^\circ = 0$

$\cos 0^\circ = 1$

$\tan 0^\circ = 0$

3° - Esacontagono (60 lati)

$\sin \frac\pi{60} = \sin 3^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt 5} \, (1-\sqrt 3) + \sqrt 2(\sqrt 5-1)(\sqrt 3+1) } {16}$

$\cos \frac\pi{60} = \cos 3^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt 5} \, (1+\sqrt 3) + \sqrt 2(\sqrt 5-1)(\sqrt 3-1) } {16}$

$\tan \frac\pi{60} = \tan 3^\circ = \frac{ \left[(2-\sqrt 3)(3+\sqrt 5)-2\right] \left(2-\sqrt{ 2(5-\sqrt 5)}\right) } {4}$

6° - Triacontagono (30 lati)

$\sin \frac\pi{30} = \sin 6^\circ = \frac{ \sqrt{6(5-\sqrt 5)} - (\sqrt 5+1) } {8}$

$\cos \frac\pi{30} = \cos 6^\circ = \frac{ \sqrt{2(5-\sqrt 5)} + \sqrt 3(\sqrt 5+1) } {8}$

$\tan \frac\pi{30} = \tan 6^\circ = \frac{ \sqrt (5-2\sqrt 5)(\sqrt 5 + 1)+\sqrt 3(1-\sqrt 5) } {2}$

9° - Icosagono (20 lati)

$\sin \frac\pi{20} = \sin 9^\circ = \frac{ -2\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt 2(\sqrt 5 + 1) } {8}$

$\cos \frac\pi{20} = \cos 9^\circ = \frac{ +2\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt 2(\sqrt 5 + 1) } {8}$

$\tan \frac\pi{20} = \tan 9^\circ = -\sqrt{5-2\sqrt 5} \; (2+\sqrt 5)+(\sqrt 5 + 1)$

12° - Pentadecagono (15 lati)

$\sin \frac{\pi}{15} = \sin 12^\circ = \frac{\sqrt{2(5+\sqrt5)}-\sqrt 3 (\sqrt 5 -1)}{8}$

$\cos \frac{\pi}{15} = \cos 12^\circ = \frac{\sqrt{6(5+\sqrt5)}+(\sqrt 5 -1)}{8}$

$\tan \frac{\pi}{15} = \tan 12^\circ = \frac{\sqrt{5-2\sqrt5}(2+\sqrt5)+(\sqrt5+1)}{2}$

15° - Dodecagono (12 lati)

$\sin \frac{\pi}{12} = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt 2 \cdot \left(\sqrt 3 - 1\right)}{4}$

$\cos \frac{\pi}{12} = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt 2 \cdot \left(\sqrt 3 + 1\right)}{4}$

$\tan \frac{\pi}{12} = \tan 15^\circ = 2 - \sqrt 3$

$\cot \frac{\pi}{12} = \cot 15^\circ = 2 + \sqrt 3$

18° - Decagono (10 lati)

$\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$

$\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}$

$\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}$

$\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}$

21° = 9° + 12°

$\sin 21^\circ = \frac{ 2\sqrt{5-\sqrt5} \, (\sqrt3+1) - \sqrt2(\sqrt3-1)(1+\sqrt5) } {16}$

$\cos 21^\circ = \frac{ 2\sqrt{5-\sqrt5} \, (\sqrt3-1)+\sqrt2(\sqrt3+1)(1+\sqrt5) } {16}$

$\tan 21^\circ = \frac{ \sqrt{5-2\sqrt5} \, (1+2\sqrt3-\sqrt5)+(2+\sqrt3)(\sqrt5-3)+2 } {2}$

22.5° - Ottagono (8 lati)

$\begin{matrix} \sin \frac{\pi}{8} & = & \sin 22.5^\circ & = & \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \\ \cos \frac{\pi}{8} & = & \cos 22.5^\circ & = & \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \\ \tan \frac{\pi}{8} & = & \tan 22.5^\circ & = & \sqrt{2}-1 \\ \cot \frac{\pi}{8} & = & \cot 22.5^\circ & = & \sqrt{2}+1 \\ \end{matrix}$

24° = 12° + 12°

$\sin 24^\circ = \frac{ \sqrt{2(5+\sqrt5)} \, (1-\sqrt5) + 2\sqrt3(1+\sqrt5)) } {16}$

$\cos 24^\circ = \frac{ \sqrt{6(5+\sqrt5)} \, (\sqrt5-1) + 2(1+\sqrt5)) } {16}$

$\tan 24^\circ = \frac{ \left(\sqrt{10+2\sqrt5}-2\sqrt3\right) \, (3+\sqrt5) } {4}$

$\mbox{cot}\, 24^\circ = \frac{ \left(\sqrt{10+2\sqrt5} + 2\sqrt3\right) \, (\sqrt5-1) } {4}$

27° = 12° + 15°

$\sin 27^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt5} + \sqrt2(1-\sqrt5) } {8}$

$\cos 27^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt5} + \sqrt2(\sqrt5-1) } {8}$

$\tan 27^\circ = -\sqrt{5-2\sqrt5} + (\sqrt5-1)$

30° - Esagono (6 lati)

$\sin \frac{\pi}{6} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos \frac{\pi}{6} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt 3}{2}$

$\tan \frac{\pi}{6} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt 3}{3}$

$\cot \frac{\pi}{6} = \cot 30^\circ = \sqrt 3$

33° = 15° + 18°

$\sin 33^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt5}\,(-1+\sqrt3) + \sqrt2(\sqrt5-1)(1+\sqrt3) } {16}$

$\cos 33^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt5}\,(+1+\sqrt3) + \sqrt2(\sqrt5-1)(1-\sqrt3) } {16}$

$\tan 33^\circ = \frac{ \sqrt{5(5-2\sqrt5)} \, \left(-15+10\sqrt3-7\sqrt5+4\sqrt{15}\right) + 5\left((-2+\sqrt3)(3+\sqrt5)+2\right) } {10}$

36° - Pentagono (5 lati)

$\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}$

$\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4}$

$\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ = \sqrt{5 - 2\sqrt 5)}$

39° = 18° + 21°

$\sin 39^\circ = \frac{ 2\sqrt{5-\sqrt5}\,(1-\sqrt3) + \sqrt2(+1+\sqrt3)(1+\sqrt5) } {16}$

$\cos 39^\circ = \frac{ 2\sqrt{5-\sqrt5}\,(1+\sqrt3) + \sqrt2\,(-1+\sqrt3)(1+\sqrt5) } {16}$

$\tan 39^\circ = \frac{ \left(\sqrt{2(5+\sqrt5)}-2\right) \left((2-\sqrt3)(-3+\sqrt5)+2\right) } {4}$

42° = 21° + 21°

$\sin 42^\circ = \frac{ \sqrt{6(5-\sqrt5)}\;(1+\sqrt5) + 2(1-\sqrt5) } {16}$

$\cos 42^\circ = \frac{ \sqrt{2(5-\sqrt5)}\;(1+\sqrt5) + 2\sqrt3(-1+\sqrt5) } {16}$

$\tan 42^\circ = \frac{ -\sqrt{1-2\sqrt1}\;(3+\sqrt5) + \sqrt3(1+\sqrt5) } {2}$

45° - Quadrato (4 lati)

$\sin \frac{\pi}{4} = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt 2}{2}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt 2}{2}$

$\tan \frac{\pi}{4} = \tan 45^\circ = 1$

$\cot \frac{\pi}{4} = \cot 45^\circ = 1$

Note

Uso delle costanti

Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:

$V = 5 e^3 \cos 36^\circ /\tan^2 36^\circ$

Usando

$\cos\,36^\circ = \frac{\sqrt 5 + 1}{4}$

$\tan\,36^\circ = \sqrt{5-2\sqrt 5}$

l'espressione precedente può essere semplificata nella:

$V = \frac{e^3(15 + 7\sqrt5)}{4}$.

Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoli

La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V, il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C), 90° (vertice M) e 90°-180°/N (vertice V).

Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.

• Costruibili
  • Poligoni regolari a 3*2^X lati, X=0,1,2,3,...
    • 30°-60°-90° triangolo - triangolo (3 lati)
    • 60°-30°-90° triangolo - esagono (6 lati)
    • 75°-15°-90° triangolo - dodecagono (12 lati)
    • 82.5°-7.5°-90° triangolo - tetracosagono (24 lati)
    • 86.25°-3.75°-90° triangolo - ottatetracontagono (48 lati)
    • ...
  • 4*2^X lati
    • 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
    • 67.5°-22.5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
    • 88.75°-11.25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
    • ...
  • 5*2^X lati
    • 54°-36°-90° triangolo - pentagono (5 lati)
    • 72°-18°-90° triangolo - decagono (10 lati)
    • 81°-9°-90° triangolo - icosagono (20 lati)
    • 85.5°-4.5°-90° triangolo - tetracontagono (40 lati)
    • 87.75°-2.25°-90° triangolo - ottacontagono (80 lati)
    • ...
  • 15*2^X lati
    • 78°-12°-90° triangolo - pentadecagono (15 lati)
    • 84°-6°-90° triangolo - triacontagono (30 lati)
    • 87°-3°-90° triangolo - esacontagono (60 lati)
    • 88.5°-1.5°-90° triangolo - ettoicosagono (120 lati)
    • 89.25°-0.75°-90° triangolo - diettotetracontagono (240 lati)
  • ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)

• Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.
  • 9*2^X lati
    • 70°-20°-90° triangolo - ennagono (9 lati)
    • 80°-10°-90° triangolo - ottadecagono (18 lati)
    • 85°-5°-90° triangolo - esatriacontagono (36 lati)
    • 87.5°-2.5°-90° triangolo - doeptacontagono (72 lati)
    • ...
  • 45*2^X lati
    • 86°-4°-90° triangolo - pentatetracontagono (45 lati)
    • 88°-2°-90° triangolo - ennacontagono (90 lati)
    • 89°-1°-90° triangolo - ettaottacontagono (180 lati)
    • 89.5°-0.5°-90° triangolo - triettoesacontagono (360 lati)
    • ...

Espressioni non singole

La semplificazione di un radicale annidato, ovvero un radicale doppio, non è banale e non sempre può essere effettuata.

Esempio:

$4\sin 18^\circ = \sqrt{2(3 - \sqrt 5)} = \sqrt 5 - 1$

Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera, ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti. Però si ha

$\sqrt{a + b\sqrt c} = d + e\sqrt c \quad \mbox{se} \quad a^2- b^2 c$     è un quadrato perfetto

Voci correlate

• Glossario di trigonometria
• Funzioni trigonometriche
• Identità trigonometriche
• Poligono

Collegamenti esterni

• Poligoni costruibili
• Poligoni regolari costruibili
• Nomenclatura dei poligoni

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