Radicale doppio

Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:

$\sqrt{a + \sqrt{b}}$

oppure

$\sqrt{a - \sqrt{b}}\,.$

I radicali doppi compaiono nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Proprietà

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare 2 numeri x e y tali che:

$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

$a + \sqrt{b} = x + y + \sqrt{4xy}$

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = a \\ 4xy = b \end{matrix} \right.$

cioè:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = a \\ xy = \frac{b}{4} \end{matrix} \right.$

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

$t^2 - at + \frac{b}{4} = 0$

Risolvendo quest'equazione si ottiene

$t = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - b}}{2}$

e quindi:

$x = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} \, , \, y = \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}$

Si ottiene così l'identità cercata:

$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

Analogamente si può ottenere:

$\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che a, b ed a² - b siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se a² - b è un quadrato perfetto. Ad esempio:

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3^2 - 5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 - \sqrt{3^2 - 5}}{2}}$

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

Invece il radicale doppio $\sqrt{3 + \sqrt{2}}$ non si può semplificare, dal momento che 3² - 2 = 7 non è un quadrato perfetto.

Esempio "quadrato perfetto rationale" (notio: 5.5² - 10 = 4.5² et 5.5 + 4.5 = 10 et 5.5 - 4.5 = 1):

$\sqrt{5.5 - \sqrt{2}\sqrt{5} } = \sqrt{\frac{11}{2}-\sqrt{10}}= \sqrt{\frac{11-2\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{10}+1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{10}-1)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2} = (\frac{\sqrt{20}-\sqrt{2}}{2})$

Esempi

La fomula può essere usata per dimostrare che $\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt 6+\sqrt2}{4}$.

Ecco come si procede:

$\cos\frac{\pi}{12} = \cos \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2})$

adesso applicando la formula:

$\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2} = \frac{\sqrt\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}+\sqrt\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt\frac{3}{2}+\sqrt\frac{1}{2}}{2} = \frac{\sqrt 6+\sqrt2}{4}$

equivalente: $\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2} = \frac{\sqrt\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}{2} =\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}}{2\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt 6+\sqrt2}{4}$

Voci correlate

• Radice
• Razionalizzazione

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