Radicale (matematica)

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In matematica, la radice n-esima o radicale n-esimo (con n\ne 0) di un numero reale a, scritto come \sqrt[n]{a}, è un numero reale b tale che b^n=a.

Il radicale può anche essere descritto come un elevamento a potenza frazionaria:

 c^{\frac {1}{n}} = b \Longleftrightarrow \left(c^{\frac 1n}\right)^n = b^n

e quindi

c^{\frac {1}{n}}=\sqrt[n]{c}

Le condizioni di esistenza[modifica | modifica wikitesto]

Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste nel campo dei numeri reali. Per verificare le condizioni di esistenza bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari:

  • se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
  • se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.

Per esempio, i seguenti radicali esprimono numeri reali:

 + \sqrt{9} = 3;\quad -  \sqrt{25} = -5;\quad - \sqrt[3]{8} = -2;\quad - \sqrt[4]{16} = -2;\quad  \sqrt[3]{-27} = -3 ;\quad \sqrt{2}=1,4142\dots

Invece i seguenti radicali non rappresentano numeri reali:

 \sqrt[ ]{-9};\quad \sqrt[ ]{-25};\quad \sqrt[6]{-8};\quad \sqrt[4]{-16};\quad \sqrt[8]{-27}

Essi infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari. Questo insieme si indica con Im oppure \mathcal{I}m oppure \mathbb{I}. La somma di un numero immaginario e un numero reale appartiene a sua volta all'insieme dei numeri complessi. Questo insieme si indica con C o \mathbb{C}.

Operazioni fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:

  • \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}
  • (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m} purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
  • a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}
  • a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}
  • \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{ \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{ \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} (Radicali quadratici doppi)

dove a e b sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che  a^2>b .

Per ogni numero complesso a diverso da 0, ci sono n diversi numeri complessi b tali che b^n=a, quindi il simbolo \sqrt[n]{a} non può essere usato univocamente. Se a=1, parliamo di radici n-esime dell'unità.

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

La radice n-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad n, è uguale a 0; nel caso in cui però n sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.

Razionalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se a e b sono due numeri positivi distinti:

\begin{align}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}- \sqrt{b}) &= \sqrt{a}\sqrt{a} - \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{a} - \sqrt{b}\sqrt{b}\\
& = a - b
\end{align}
(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}

L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione o di un'equazione.

Radicali letterali[modifica | modifica wikitesto]

Può capitare, spesso in analisi, di trovare radicali letterali, ossia radici quadrate con radicando letterale. In questo caso, dapprima bisogna trovare la condizione di esistenza (chiamata anche C.A. Condizione di accettabilità, o C.R.R. Condizione di Realtà del Radicando), nel caso si lavori solo tra i numeri reali, per poi considerare sempre quando le lettere indicano numeri positivi o numeri negativi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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