Radicale (matematica)

In matematica, la radice n-esima o radicale n-esimo (con n ≠ 0) di un numero reale a, scritto come $\sqrt[n]{a}$, è un numero reale b tale che bⁿ = a. Qui n è un numero intero positivo. Vedi radice quadrata dove n = 2. Il radicale può anche essere descritto come un elevamento a potenza frazionaria:

$c^{\frac 1n} = b \Leftrightarrow [c^{\frac 1n}]^n = b^n (= a)$

Se confrontiamo a e c, troviamo che sono identici secondo le proprietà delle potenze:

$[c^{\frac 1n}]^n = c^{[\frac 1n \cdot n]} = c^1 \Leftrightarrow a = c$

Esempio

$16^{\frac 12} = \sqrt[2]{16} = 4 \Leftrightarrow 4^2 = 16$

$= \sqrt[2]{16}.$

Le condizioni di realtà

Le condizioni di realtà sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste. Per verificare le condizioni di realtà bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari:

• se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
• se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.

Esempi, sono calcolabili i seguenti radicali:

$+ \sqrt[ ]{9} = 3; - \sqrt[ ]{25} = -5; \sqrt[3]{8} = 2; - \sqrt[4]{16} = -2;- \sqrt[3]{27} = -3 ;...$

Non hanno significato in campo reale:

$\sqrt[ ]{-9}; \sqrt[ ]{-25}; \sqrt[6]{-8}; \sqrt[4]{-16}; \sqrt[8]{-27};...$

Essi infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, i quali, sommati ai numeri reali, danno come risultato un numero appartenente all'insieme dei numeri complessi, indicato con C o $\mathbb{C}$.

Operazioni fondamentali

• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$
• $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$
• $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
• $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
• $\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{ \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{ \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ (Radicali quadratici doppi)

dove a e b sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che $a^2>b$.

Per ogni numero complesso a diverso da zero, ci sono n diversi numeri complessi b tali che bⁿ = a, quindi il simbolo $\sqrt[n]{a}$ non può essere usato univocamente. Se a = 1, parliamo di radici n-esime dell'unità.

Elevamento a potenza di un radicale

Per elevare a potenza una radice n-esima alla m, bisogna elevare il radicale alla m, dunque svolgere la radice n-esima del numero trovato. $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$

Casi particolari

• La radice n-esima di zero è uguale a zero, perché zero, elevato ad n, è uguale a zero; nel caso in cui però n sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.

Razionalizzazione

Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se a e b sono due numeri positivi distinti:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}- \sqrt{b}) = a - b$,

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}$

L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione o di un'equazione.

Radicali letterali

Può capitare, spesso in analisi, di trovare radicali letterali, ossia radici quadrate con radicando letterale. In questo caso, dapprima bisogna trovare la condizione di esistenza (chiamata anche C.A. [Condizione di accettabilità], o C.R.R. [Condizione di Realtà del Radicando]), nel caso si lavori solo tra i numeri reali, per poi considerare sempre quando le lettere indicano numeri positivi o numeri negativi.

Voci correlate

• Radice quadrata
• Costante deliana
• Estrazione di fattori dal segno di radice

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