Radicale (matematica)

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In matematica, la radice n-esima o radicale n-esimo (con n\ne 0) di un numero reale a, scritto come \sqrt[n]{a}, è un numero reale b tale che b^n=a.

Il radicale può anche essere descritto come un elevamento a potenza frazionaria:

 c^{\frac {1}{n}} = b \Longleftrightarrow \left(c^{\frac 1n}\right)^n = b^n

e quindi

c^{\frac {1}{n}}=\sqrt[n]{c}

Le condizioni di esistenza[modifica | modifica wikitesto]

Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste nel campo dei numeri reali. Per verificare le condizioni di esistenza bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari:

  • se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
  • se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.

Per esempio, i seguenti radicali esprimono numeri reali:

 + \sqrt{9} = 3;\quad - \sqrt{25} = -5;\quad - \sqrt[3]{8} = -2;\quad - \sqrt[4]{16} = -2;\quad \sqrt[3]{-27} = -3 ;\quad \sqrt{2}=1,4142\dots

Invece i seguenti radicali non rappresentano numeri reali:

 \sqrt[ ]{-9};\quad \sqrt[ ]{-25};\quad \sqrt[6]{-8};\quad \sqrt[4]{-16};\quad \sqrt[8]{-27}

Essi infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari. Questo insieme si indica con Im oppure \mathcal{I}m oppure \mathbb{I}. La somma di un numero immaginario e un numero reale appartiene a sua volta all'insieme dei numeri complessi. Questo insieme si indica con C o \mathbb{C}.

Così, ad esempio, la condizione di esistenza del radicale \sqrt{x} è C.E: x \geq 0, dato che il radicando deve essere sempre positivo. Ecco altri esempi di condizioni di esistenza:

  • \sqrt{x-1} ha come condizioni di esistenza x \geq 1: infatti, si deve risolvere la disequazione x-1 \geq 0, la cui soluzione è proprio x \geq 1.
  • \sqrt{\frac{x+1}{x-2}} ha come condizioni di esistenza x\leq-1 \ \or \ x>2, poiché è necessario risolvere la disequazione fratta \frac{x+1}{x-2} \geq 0.
  • Un ultimo esempio: per trovare le condizioni di esistenza del radicale \sqrt{\frac{x^{2}(x+1)^{2}}{x+2}} è necessario risolvere la disequazione \frac{x^{2}(x+1)^{2}}{x+2} \geq 0, che ha come soluzione x > - 2, ricordando che i fattori x ed x+1 sono sempre positivi o nulli, in quanto quadrati.

Operazioni fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:

Prodotto di radicali[modifica | modifica wikitesto]

\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}, con a\geq0, b\geq0, n\in \mathbb{N}-\{0\}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:

\left(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\right)^n=\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\left(\sqrt[n]{b}\right)^n=ab (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

\left(\sqrt[n]{ab}\right)^n=ab (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

Poiché le n-esime potenze dei due membri sono uguali (ab=ab), sono uguali anche le basi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Applicando la proprietà:

\sqrt{5}\sqrt{10}\sqrt{40}=\sqrt{5\cdot 10\cdot 40}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}

Allo stesso modo, con C.E: \ x>1:

\sqrt{x-1}\sqrt{x}\sqrt{\frac{1}{x-1}}=\sqrt{\frac{x(x-1)}{x-1}}=\sqrt{x}

Quoziente di radicali[modifica | modifica wikitesto]

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}, con a\geq0, b>0, n\in \mathbb{N}-\{0\}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:

\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{\left(\sqrt[n]{a}\right)^n}{\left(\sqrt[n]{b}\right)^n} = \frac{a}{b} (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

\left(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\right)^n=\frac{a}{b} (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

Poiché le n-esime potenze dei due membri sono uguali \left(\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\right), sono uguali anche le basi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Applicando la proprietà:

\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{25}}=\sqrt{\frac{50}{25}}=\sqrt{2}

Allo stesso modo, con C.E: \ x>-2 :

\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{(x+2)(x+3)}}=\sqrt{\frac{x+2}{(x+2)(x+3)}}=\sqrt{\frac{1}{x+3}}

Potenze di radicali[modifica | modifica wikitesto]

(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}, con a\geq0, n,m\in \mathbb{N}-\{0\}

Non è necessario dimostrare questa proprietà in quanto è una diretta conseguenza della seconda proprietà dei radicali con il radicando sempre positivo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Applicando la proprietà:

\left(\sqrt{5}\right)^4=\sqrt{5^4}=25

Allo stesso modo, con C.E: \ x\geq-1

\left(\sqrt{x+1}\right)^4 = \sqrt{(x+1)^4} = (x+1)^2

Radice di un radicale[modifica | modifica wikitesto]

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}, con a\geq0, n,m\in \mathbb{N}-\{0\}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si elevino all'nm-esima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:

\left(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}\right)^{nm} = \left(\left(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}\right)^{n}\right)^m=\left(\sqrt[m]{a}\right)^m=a (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

\left(\sqrt[mn]{a}\right)^{mn}=a (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

Poiché le nm-esime potenze dei due membri sono uguali (a=a), sono uguali anche le basi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Applicando la proprietà:

\sqrt{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[2*3]{3} = \sqrt[6]{3}

Allo stesso modo, con C.E: x\geq0, n\neq0 \ \and \ n\neq1

\sqrt[n]{\sqrt[n-1]{x}} = \sqrt[n(n-1)]{x} = \sqrt[n^2-n]{x}

Portar fuori[modifica | modifica wikitesto]

\sqrt[n]{a^nb}=a\sqrt[n]{b}, con a\geq0, b>0, n\in \mathbb{N}-\{0\}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema del prodotto si ottiene:

\sqrt[n]{a^nb}=\sqrt[n]{a^n}\sqrt[n]{b}

Ma, per la seconda proprietà fondamentale dei radicale è \sqrt[n]{a^n}=a, perciò:

\sqrt[n]{a^nb}=\sqrt[n]{a^n}\sqrt[n]{b}=a\sqrt[n]{b}

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Applicando la proprietà:

\sqrt{500}=\sqrt{100\cdot 5}=10\sqrt{5}

Allo stesso modo, con C.E: \ x\geq0:

\sqrt{x(x+1)^2}=(x+1)\sqrt{x}

Varianti[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:

\sqrt[n]{a^{nx}b}=a^x\sqrt[n]{b}, con a\geq0, b>0, n,x\in \mathbb{N}-\{0\}

\sqrt[n]{a^{nx+k}}=a^x\sqrt[n]{a^k}, con a\geq0, n,k\in\mathbb{N}-\{0\}

Portar dentro[modifica | modifica wikitesto]

a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}, con a\geq0, b>0, n\in \mathbb{N}-\{0\}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Elevando tutto alla n-esima potenza si ottiene:

a\sqrt[n]{b}=a^nb

Radicando ora il tutto sotto radice di indice n risulta:

a^nb=\sqrt[n]{a^nb}

Quindi:

a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Applicando la proprietà:

10\sqrt{3}=\sqrt{10^2\cdot 3}=\sqrt{300}

Allo stesso modo:

x\sqrt{3}=\sqrt{3x^2} per x\geq0

-\sqrt{3x^2} per x<0

Varianti[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:

a^x\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{nx}b}, con a\geq0, b>0, n,x\in \mathbb{N}-\{0\}

a^x\sqrt[n]{a^k}=\sqrt[n]{a^{nx+k}}, con a\geq0, n,x\in \mathbb{N}-\{0\}

Potenze ad esponente reale[modifica | modifica wikitesto]

  • a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}
  • a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

Il primo enunciato si ottiene direttamente dalla definizione di radicale, il secondo applicando il teorema delle potenze ad esponente negativo.

Radicali quadratici doppi[modifica | modifica wikitesto]

\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{ \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{ \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}

dove a e b sono numeri positivi. È anche richiesto che  a^2>b .

Per ogni numero complesso a diverso da 0, ci sono n diversi numeri complessi b tali che b^n=a, quindi il simbolo \sqrt[n]{a} non può essere usato univocamente. Se a=1, parliamo di radici n-esime dell'unità.

Somme di radicali[modifica | modifica wikitesto]

È importante ricordare che, in generale, è sempre (per a\geq0, b\geq0):

\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{a+b}

Quindi, affermare che \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} sarebbe un gravissimo errore.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Partendo dall'equazione:

\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{a+b}

Elevando al quadrato si ottiene:

\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 \geq \left(\sqrt{a+b}\right)^2

a+b+2\sqrt{ab} \geq a+b

2\sqrt{ab} \geq 0

Poiché è a\geq0 e b\geq0 per ipotesi, è anche \sqrt{ab} \geq 0, quindi la tesi è vera.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema è facilmente estendibile alle radici di indice n-esimo:

\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b} \geq \sqrt[n]{a+b}, con a\geq0, b\geq0, n\in \mathbb{N}-\{0\}

Casi in cui la somma è possibile[modifica | modifica wikitesto]

La somma di radicali è possibile solo se sono presenti radicali simili, cioè nel caso in cui:

a\sqrt[n]{k}+b\sqrt[n]{k}=\left(a+b\right)\sqrt[n]{k}

Ad esempio:

10\sqrt{2}+5\sqrt{2} = (10+5)\sqrt{2}=15\sqrt{2}

5+3\sqrt{5}=\sqrt{5}\sqrt{5}+3\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}+3\right)\sqrt{5}

Nel secondo esempio si tenga presente che vale n=\sqrt{n}\sqrt{n}.

Proprietà invariantiva dei radicali[modifica | modifica wikitesto]

La proprietà invariantiva dei radicali afferma che:

"Moltiplicando o dividendo sia l'indice di un radicale che l'esponente del suo radicando per un numero diverso da 0, si ottiene un radicale equivalente a quello dato."

In simboli:

\sqrt[n]{x}=\sqrt[np]{x^p}, con x\geq0, n,p\in \mathbb{N}-\{0\}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si elevi alla np potenza ciascuno dei due membri:

\left (\sqrt[n]{x}\right)^{np}= \left ( \left (\sqrt[n]{x} \right )^n \right )^p = x^p (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

\left( \sqrt[np]{x^p} \right)^{np} = x^p (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

Si ottiene x^p=x^p, e, poiché le np-esime potenze dei due membri sono uguali, sono uguali anche le basi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando la proprietà invariantiva è possibile semplificare i radicali, dividendo sia indice che esponente del radicando per uno stesso numero:

\sqrt[10]{3^{5}}=\sqrt[\frac{10}{5}]{3^{\frac{5}{5}}}=\sqrt{3}

Allo stesso modo:

\sqrt[20]{(x+1)^{10}}=\sqrt{|x+1|}

Si noti che nell'espressione è stato inserito il valore assoluto: questo perché, mentre nel primo radicale (x+1)^{10} esiste sempre, dato che è un quadrato, nella seconda viene semplificato, e non è più elevato ad un esponente pari. Quindi è necessario inserire il valore assoluto, per fare in modo che l'uguaglianza si mantenga valida.

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

La radice n-esima di 0 vale sempre 0, escludendo il caso in cui è n=0, poiché la radice di indice 0 ha significato solo se il radicando è uguale ad 1, ossia nel caso:

\sqrt[0]{1}=\mathbb{C}-\{0\}, poiché l'operazione inversa, n^0, con n\neq1, dà sempre come risultato il valore 1, quindi qualsiasi valore, anche complesso, di n è accettabile.

Inoltre, è sempre:

\sqrt[n]{1}=1

\sqrt[1]{n}=n

Razionalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se a e b sono due numeri positivi distinti:

\begin{align}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}- \sqrt{b}) &= \sqrt{a}\sqrt{a} - \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{a} - \sqrt{b}\sqrt{b}\\
& = a - b
\end{align}
(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}

L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione o di un'equazione.

Radicali letterali[modifica | modifica wikitesto]

Può capitare, spesso in analisi, di trovare radicali letterali, ossia radici quadrate con radicando letterale. In questo caso, dapprima bisogna trovare la condizione di esistenza (chiamata anche C.A. Condizione di accettabilità, o C.R.R. Condizione di Realtà del Radicando), nel caso si lavori solo tra i numeri reali, per poi considerare sempre quando le lettere indicano numeri positivi o numeri negativi.

Un esempio di radicale letterale:

\sqrt[n]{\frac{x+3}{x^3-1}}

Le condizioni di esistenza si ricavano nel seguente modo:

  • Per l'indice, è semplicemente n\in\mathbb{R}-\{0\}, poiché è l'unico valore reale per cui perde di significato;
  • Per il radicando è necessario risolvere la disequazione frazionaria \frac{x+3}{x^3-1} \geq 0, la cui soluzione è: x\geq1 \ \ \or \ \ x\leq-3.

Pertanto il campo di esistenza del radicale è: C.E: \ \ \left( x\geq1 \ \or \ x\leq-3 \right) \ \and \ \left(n\neq0\right).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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