Formule di prostaferesi

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In trigonometria, le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.

La parola prostaferesi deriva dalla giustapposizione di due parole di origine greca, prosthesis (πρόσθεσις) e aphairesis (ἀφαίρεσις), che significano rispettivamente somma e sottrazione.

Le formule di prostaferesi furono definite, nella forma attualmente nota, da Johann Werner agli inizi del XVI secolo, tuttavia è probabile che fossero già, almeno parzialmente, note in precedenza.[1]

Questa categoria di formule trigonometriche viene utilizzata poiché, in genere, conduce ad una semplificazione dell'espressione trigonometrica studiata. Sono in particolare utili nella descrizione dei battimenti.

Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner, su cui si basa l'algoritmo di prostaferesi.

Prima formula di prostaferesi[modifica | modifica sorgente]

\mathrm{sen}\,\alpha+\mathrm{sen}\,\beta=2\,\mathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}

Seconda formula di prostaferesi[modifica | modifica sorgente]

\mathrm{sen}\,\alpha-\mathrm{sen}\,\beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \,\mathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}

Terza formula di prostaferesi[modifica | modifica sorgente]

\cos\alpha+\cos\beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}

Quarta formula di prostaferesi[modifica | modifica sorgente]

\cos\alpha-\cos\beta=-2 \,\mathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \,\mathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}

Formule di prostaferesi per la tangente[modifica | modifica sorgente]

\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac {\mathrm{sen}(\alpha\pm\beta)} {\cos\alpha \cos\beta} \qquad \mathrm{con} \ \alpha,\beta \ne (2k+1) \frac{\pi}{2} ; k \in \Z

Formule di prostaferesi per la cotangente[modifica | modifica sorgente]

\cot\alpha\pm\cot\beta=\frac {\mathrm{sen}(\beta\pm\alpha)} {\mathrm{sen}\,\alpha \, \mathrm{sen}\,\beta} \qquad \mathrm{con} \ \alpha,\beta \ne k \pi ; k \in \Z

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Carl B. Boyer, Storia della matematica, 1990, Oscar Saggi Mondadori, ISBN 88-04-33431-2.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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