Arcotangente

In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della funzione tangente nell'intervallo $\left(-{\;\pi\;\over 2}\,,{\;\pi\;\over 2}\right)\subset {\rm I\!R}\quad$

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti corrispondono alla lunghezza dell'arco di una circonferenza di raggio unitario). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di x è l'angolo di valor assoluto minore la cui tangente è x.

Notazione

La notazione matematica dell'arcotangente è arctan o arctg; è comune anche la scrittura tan^-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

Proprietà

Grafico della funzione y=arctan(x)

• L'arcotangente è una funzione definita su tutto l'insieme dei numeri reali

${\rm arctg}: {\rm I\!R} \rightarrow \left(-{\;\pi\;\over 2}\, , {\;\pi\;\over 2}\right)$

• La sua immagine è un intervallo

${\rm arctg}({\rm I\!R}) = \left(-{\;\pi\;\over 2}\, , {\;\pi\;\over 2}\right) \subset {\rm I\!R}$

• Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio

$\lim_{x\rightarrow+\infty}{\rm arctg}(x)={\;\pi\; \over 2} \qquad\qquad {\rm e} \qquad\qquad \lim_{x\rightarrow-\infty}{\rm arctg}(x)=-{\;\pi\; \over 2}$

• La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente

$\forall\, x_1, x_2 \in {\rm I\!R} : x_1 < x_2 \Rightarrow {\rm arctg}(x_1) < {\rm arctg}(x_2)$

• È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico)

${\rm arctg}(x)=-{\rm arctg}(-x) \qquad\qquad {\rm ovvero} \qquad\qquad {\rm arctg}(-x)= -{\rm arctg}(x)$

ed è di classe $C_\infty$ cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine

$\forall\, x_0 \in {\rm I\!R}, \,\forall\, n \in {\rm I\!N} \quad \exist\; \lim_{x \to x_0} {\rm arctg}^{(n)}(x) = {\rm arctg}^{(n)}(x_0)$

${\rm arctg}^{\;I} (x)={1\over\;1+x^2\,}$

${\rm arctg}^{\;II}(x)={-2x\over\;\left(1+x^2\right)^2\,}$

${\rm arctg}^{\;III}(x)={\; 6x^2-2 \; \over\;\left(1+x^2\right)^3\,}$

${\rm arctg}^{\;IV}(x)={\; -24x^3+24x \; \over\;\left(1+x^2\right)^4\,}$

$\cdots \qquad.$

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è

${\rm arctg}(x)= \sum_{k=0}^\infty \;(-1)^k \; { \,\;x^{2k+1}\, \over \; 2k+1 \;}= x-{\;x^3 \over 3}+{\;x^5 \over 5}-{\; x^7 \over 7}+\,\cdots$

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se $\vert x\vert \le 1 \quad .$

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:

${\rm arctg}\left( x_1 \right) \pm {\rm arctg}\left( x_2 \right) = \begin{cases} Y & \pm x_1x_2<1 \\ {\rm segno}\left(x_1\right)\,{\displaystyle\,\pi\; \over 2} \qquad & \pm x_1x_2=1 \\ Y + {\rm segno}\left(x_1\right)\,\pi & \pm x_1x_2>1 \\ \end{cases}$

nelle quali

$Y={\rm arctg}\left({x_1 \pm x_2 \over \; 1 \mp x_1 x_2\;}\right)$.

Si ha inoltre che, per $x > 0$:

${\rm arctg}(x)+{\rm arctg}\left({1 \over x}\right) = {\pi \over 2}$

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza $x$ e $1$. L'angolo opposto al cateto di lunghezza $x$ avrà ampiezza pari a ${\rm arctg}(x)$, mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza $1$ avrà ampiezza pari a ${\rm arctg}\left({1 \over x}\right)$. Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione

${\rm arctg}(x)+{\rm arctg}\left({1 \over x}\right)+{\pi \over 2} = \pi$

e quindi si giunge a

${\rm arctg}(x)+{\rm arctg}\left({1 \over x}\right) = {\pi \over 2}$.

Applicazioni

• In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il suo cateto opposto e il cateto adiacente.
• Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre di pi greco. Queste formule sono conosciute come formule di tipo Machin.

Voci correlate

• Tangente
• Arcotangente2

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Arcotangente su MathWorld.
• (EN) Eric W. Weisstein, Formule di tipo Machin su MathWorld.

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