Secante (trigonometria)

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Grafico della funzione secante

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia

 \sec \alpha = \frac {1}{\cos \alpha}.

Definizione geometrica[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo

Data una circonferenza unitaria di centro O, l'angolo al centro \theta tale che \theta \not = \frac{\pi}{2} + k \pi, con k \in \Z , individua su questa un punto C. La retta tangente alla circonferenza in C interseca l'asse x nel punto B; si definisce secante di \theta l'ascissa del punto B così definito (vedi Fig. 2).

In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa ed il cateto adiacente: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:

 \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta,
 \sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta},

comunque deducibili dalla definizione di secante.[1]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna

Dimostriamo che \sec \theta = \frac {1}{\cos \theta}.

Il triangolo \overset{\vartriangle}{AOG} è simile al triangolo \overset{\vartriangle}{COB} (vedi fig.1).

Per il teorema di Talete vale la proporzione:

{OC\over OB}={OG\over OA}

Ora

OB=\cos \theta,
OC=1,
OG=\sec \theta,
OA=1.

Quindi:

\frac{1}{\cos \theta} = \frac{\sec \theta}{1},

da cui

\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}.

Valori notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che \sec x={1\over \cos x}.

x in radianti 0 \frac\pi 6 \frac\pi 4 \frac\pi 3 \frac\pi 2 \frac{5}{6}\pi \frac{3}{4}\pi \frac{2}{3}\pi \pi \frac{7}{6}\pi \frac{5}{4}\pi \frac{4}{3}\pi
2\pi \frac{11}{6}\pi \frac{7}{4}\pi \frac{5}{3}\pi \frac{3}{2}\pi
\sec x= 1 \frac {2}{\sqrt 3} \frac {2}{\sqrt 2} 2 \nexists -\frac {2}{\sqrt 3} -\frac {2}{\sqrt 2} -2 -1 -\frac {2}{\sqrt 3} -\frac {2}{\sqrt 2} -2

Derivate[modifica | modifica wikitesto]

\frac {d}{dx}\sec x=\frac{\sin x}{\cos^2x}=\sec x\cdot\tan x.
\frac {d^2}{dx^2}\sec x = \frac {d}{dx} \frac{\tan x}{\cos x} = \frac {d}{dx} \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1 + \sin^2 x}{\cos^3 x} = \sec^3 x \left(1 + \sin^2 x \right).

Relazione trigonometrica secante-cosecante[modifica | modifica wikitesto]

Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria (\cos^2x+\sin^2 x=1) è la seguente:

\mathrm{cosec}^{2}x+\sec^{2}x =\mathrm{cosec}^{2}x \cdot \sec^{2}x

per ogni x\neq k{\pi\over 2} con k\in\Z.

La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per \sin^2x\cdot\cos^2x.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ \sec^2 \theta = \frac {1}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac {\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1 + \tan^2 \theta

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