Secante (trigonometria)

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La secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia

 \sec \alpha = \frac {1}{\cos \alpha}

Relazioni geometriche[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo

Data una circonferenza unitaria di centro O, l'angolo al centro \theta tale che \theta \not = \frac{\pi}{2} + k \pi, con k \in \Z , individua su questa un punto C. La retta tangente alla circonferenza in C interseca l'asse x nel punto B; si definisce secante di \theta il segmento \overline{OB} così definito (vedi Fig. 2).

In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa ed il cateto adiacente: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:

 \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta

 \sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta}

comunque deducibili dalla definizione di secante.[1]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna

Dimostriamo che  \sec \theta = \frac {1}{\cos \theta}

Il triangolo \overset{\vartriangle} \mbox{AOG}  è simile al triangolo \overset{\vartriangle} \mbox{COB}  (vedi fig.1).

Per il teorema di Talete vale la proporzione :

{\mbox{OC}\over\mbox{OB}}={\mbox{OG}\over \mbox{OA}}

Ora   \mbox{OB}=\cos \theta  ,  \mbox{OC}=1 ,  \mbox{OG}=\sec \theta  e  \mbox{OA}=1.

Quindi :

\frac{1}{\cos \theta} = \frac{\sec \theta}{1}     da cui     \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}

Valori notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che \sec x={1\over \cos x}.

x in radianti 0 \frac\pi 6 \frac\pi 4 \frac\pi 3 \frac\pi 2 \frac{5}{6}\pi \frac{3}{4}\pi \frac{2}{3}\pi \pi \frac{7}{6}\pi \frac{5}{4}\pi \frac{4}{3}\pi
2\pi \frac{11}{6}\pi \frac{7}{4}\pi \frac{5}{3}\pi \frac{3}{2}\pi
\sec x= 1 \frac {2}{\sqrt 3} \frac {2}{\sqrt 2} 2 -\frac {2}{\sqrt 3} -\frac {2}{\sqrt 2} -2 -1 -\frac {2}{\sqrt 3} -\frac {2}{\sqrt 2} -2

Funzione secante[modifica | modifica wikitesto]

Grafico della funzione secante

Definita la secante geometrica si può definire la funzione secante come f:\R\to\R\setminus\left\{{\pi\over 2}+k\pi,\,k\in\Z\right\} tale che

\forall x\in\R:f(x)=\begin{cases}\sec x &\mbox{se }x\in\left[0,2\pi\right]
\\ \sec\alpha & \mbox{se }x>2\pi\end{cases}      con \alpha=x+2h\pi\,\!,

h\in\Z tale che 0\le\alpha\le 2\pi.

Derivate[modifica | modifica wikitesto]

\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}\sec x=\frac{\sin x}{\cos^2x}=\sec x\cdot\tan x

\frac {\operatorname{d^2}}{\operatorname{d}x^2}\sec x = \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} \frac{\tan x}{\cos x} = \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1 + \sin^2 x}{\cos^3 x} = \sec^3 x \left(1 + \sin^2 x \right)

Relazione trigonometrica secante-cosecante[modifica | modifica wikitesto]

Conseguenza della Prima relazione fondamentale della trigonometria (\cos^2x+\mathrm{sen}^2x=1\,\!) è la seguente:

\mathrm{cosec}^{2}x+\sec^{2}x =\mathrm{cosec}^{2}x \cdot \sec^{2}x per ogni x diverso da k{\pi\over 2} .

La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per \mathrm{sen}^2x\cdot\cos^2x.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ \sec^2 \theta = \frac {1}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac {\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1 + \tan^2 \theta
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