Teorema del coseno

Il teorema del coseno correla la lunghezza dei lati di un triangolo al coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli scaleni. Questo teorema è noto anche come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è dovuto al francese François Viète.

Il teorema

Ci si riferisce alla figura a lato: siamo interessati a trovare la lunghezza di un lato di un qualsiasi triangolo, essendo note le lunghezze degli altri due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso. Si ha:

$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.$

Dimostrazione

Con riferimento alla figura, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AHB, si ha:

$\overline{AB}^2=\overline{AH}^2+\overline{BH}^2$

Risolvendo il triangolo rettangolo AHC abbiamo anche:

$\overline{AH}=\overline{AC}\sin\gamma.$

Vale inoltre

$\overline{BH}=\overline{BC}-\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{AC}\cos\gamma.$

Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:

$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2\sin^2\gamma+\overline{BC}^2+\overline{AC}^2\cos^2\gamma-2\overline{BC}\cdot\overline{AC}\cos\gamma$.

Per la relazione fondamentale sin²γ+cos²γ=1, questa equazione può essere semplificata in:

$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.$

Nel caso di un triangolo rettangolo, ovvero con γ=90°, il quarto termine è nullo e ritroviamo il teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo la dimostrazione procede allo stesso modo, con la principale differenza che in questo caso:

$\overline{BH}=\overline{BC}+\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{AC}\cos\gamma.$

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