Teorema del coseno

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Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema è noto anche come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è dovuto al francese François Viète.

[modifica] Il teorema

Si consideri il caso in cui il triangolo è acutangolo. Chiamando A, B e C i tre vertici di un triangolo e γ l'angolo in corrispondenza di C, si tracci l'altezza AH relativa al lato BC. Si ottengono così due triangoli rettangoli ai quali è possibile applicare il teorema di Pitagora. Applicando tale teorema al triangolo AHB, si ha :

\overline{AB}^2=\overline{AH}^2+\overline{BH}^2

Risolvendo il triangolo rettangolo AHC abbiamo anche:

\overline{AH}=\overline{AC}\sin\gamma.

Vale inoltre

\overline{BH}=\overline{BC}-\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{AC}\cos\gamma.

Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:

\overline{AB}^2=\overline{AC}^2\sin^2\gamma+\overline{BC}^2+\overline{AC}^2\cos^2\gamma-2\overline{BC}\cdot\overline{AC}\cos\gamma.

Per la relazione fondamentale sin²γ+cos²γ=1, questa equazione può essere semplificata in:

\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.

Nel caso di un triangolo rettangolo, ovvero con γ=90°, il quarto termine è nullo e ritroviamo il teorema di Pitagora.

Nel caso del triangolo ottusangolo, la dimostrazione è analoga (solo che adesso risulta:

\overline{BH}=\overline{BC}+\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{AC}\cos\gamma.)


Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno"
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