Teorema del coseno

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Il teorema del coseno correla la lunghezza dei lati di un triangolo al coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli scaleni. Questo teorema è noto anche come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è dovuto al francese François Viète.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Triangolo con vertici, altezza e un angolo.png

Ci si riferisce alla figura a lato: siamo interessati a trovare la lunghezza di un lato di un qualsiasi triangolo, essendo note le lunghezze degli altri due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso. Si ha:

\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.

Dimostrazione con Pitagora[modifica | modifica wikitesto]

Con riferimento alla figura, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AHB, si ha:

\overline{AB}^2=\overline{AH}^2+\overline{BH}^2,

dove \overline{AB} indica la lunghezza (non orientata) del segmento AB.

Risolvendo il triangolo rettangolo AHC abbiamo anche:

\overline{AH}=\overline{AC}\sin\gamma.

Vale inoltre

\overline{BH}=\overline{BC}-\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{AC}\cos\gamma.

Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:

\overline{AB}^2=\overline{AC}^2\sin^2\gamma+\overline{BC}^2+\overline{AC}^2\cos^2\gamma-2\overline{BC}\cdot\overline{AC}\cos\gamma.

Per la relazione fondamentale sin²γ+cos²γ=1, questa equazione può essere semplificata in:

\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.

Nel caso di un triangolo rettangolo, ovvero con γ=90°, il quarto termine è nullo e ritroviamo il teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo la dimostrazione procede allo stesso modo, con la principale differenza che in questo caso:

\overline{BH}=\overline{BC}+\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{AC}\cos\gamma.

Dimostrazione con vettori[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino i vettori:

\vec a=\vec{CA};
\vec b=\vec{CB};
\vec c=\vec{AB}.

Possiamo quindi scrivere che:

\vec c=\vec b-\vec a.

Elevando al quadrato entrambi i membri:

\vec c^{\,2}=(\vec b -\vec a)^2
\vec c^{\,2}=\vec b^{\,2} +\vec a^{\,2}-2\vec a \vec b

Applicando il prodotto scalare abbiamo che:

c^2=b^2 +a^2-2ab\cdot\mathrm{{cos}}(\gamma)

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