Numero complesso

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Con l'espressione numero complesso si intende la somma di un numero reale e di un numero immaginario (cioè un multiplo reale dell'unità immaginaria, indicata con la lettera i ). I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (e notoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria, specialmente in elettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche.

In matematica, i numeri complessi formano un campo e sono generalmente visualizzati come punti del piano, detto piano complesso. La proprietà più importante che caratterizza i numeri complessi è il teorema fondamentale dell'algebra, che asserisce che qualunque equazione polinomiale di grado n ha esattamente n soluzioni complesse.

[modifica] Introduzione informale

[modifica] L'unità immaginaria

Gli insiemi dei numeri nel corso dei secoli, sono andati mano mano allargandosi, per rispondere all'esigenza dell'uomo di dare soluzione a problemi ed equazioni sempre nuovi.

I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione

$x^2=-1\,$

non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

Si definisce allora il valore $i$ , chiamato anche unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:

$i^2=-1\,$

I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:

$a + ib\,$

dove $a$ e $b$ sono numeri reali, mentre $i$ è l'unità immaginaria.

Le leggi della somma algebrica e del prodotto nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale, usando che $i 2 = - 1$ .

Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano complesso (o di Argand-Gauss): al numero complesso $a + i b$ si associa il punto di coordinate cartesiane $(a, b)$ .

[modifica] Equazioni con soluzioni non reali

Usando la relazione $i 2 = - 1$ si possono risolvere tutte le equazioni di secondo grado

$ax^2 + bx + c = 0, \;$

incluse quelle che non hanno soluzioni reali perché dotate di discriminante negativo:

$\Delta=b^2-4ac<0.\,\!$

Le soluzioni sono determinate dalla formula risolutiva dell'equazione

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

che nel caso in cui il discriminante sia negativo, si svolge nel modo seguente:

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{(-1)(-\Delta)} = \sqrt{-1}\sqrt{-\Delta} = i\sqrt{-\Delta}.$

Ad esempio:

$x^2 + 4x + 8 = 0\,\!\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{16-32}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2} =\frac{-4\pm i\sqrt{16}}{2} =-2\pm 2i.$

[modifica] Cenni storici

Per approfondire, vedi la voce Storia dei numeri complessi.

I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciano ad essere utilizzati formalmente nel XVI secolo nelle formule di risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado di Tartaglia.

Inizialmente i numeri complessi non vengono considerati come "numeri", ma solo come artifici algebrici utili a risolvere equazioni. Sono infatti numeri "che non dovrebbero esistere": Cartesio nel XVI secolo li chiama "numeri immaginari". Abraham de Moivre e Eulero nel XVIII secolo iniziano a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assumono piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di Gauss. Contemporaneamente si afferma l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.

[modifica] Terminologia

In matematica molti oggetti e teoremi dipendono dalla scelta di un insieme numerico di base: spesso la scelta è fra numeri reali e complessi. L'aggettivo "complesso" è in questo caso usato per specificare questo insieme di base. Per esempio, si definiscono le matrici complesse, i polinomi complessi, gli spazi vettoriali complessi e le algebra di Lie complessa. Esistono anche il teorema di Sylvester complesso ed il teorema spettrale complesso.

[modifica] Definizione moderna

Formalmente un numero complesso si può definire come una coppia ordinata di numeri reali $(a, b)$ . Si definiscono quindi somma e prodotto di due numeri complessi nel modo seguente:

$( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ), \,$

$( a , b ) ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ). \,$

Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi risulta essere un campo, che viene indicato con $\mathbb{C}$ oppure con C.

Il numero complesso $(a,0)$ viene identificato con il numero reale $a$ , mentre il numero $(0,1)$ è chiamato unità immaginaria ed è descritto con la lettera $i$ . L'elemento 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:

$i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1.\,$

Ogni numero complesso $z = (a, b)$ si scrive facilmente come combinazione lineare nel modo seguente:

$z =(a,b)=a (1,0) + b (0,1) = a + bi.\,$

I numeri a e b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z. Questa rappresentazione dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio:

$(2+4i)(1-i) = 2(1-i)+4i(1-i) = 2-2i+4i-4i^2 = 2+2i-4(-1) = 6+2i. \,$

[modifica] Definizioni alternative

Usando gli strumenti della teoria dei campi, il campo dei numeri complessi può essere definito come la chiusura algebrica del campo dei numeri reali.

Usando gli strumenti della teoria degli anelli, può anche essere introdotto come l'anello quoziente dell'anello dei polinomi reali con una variabile tramite l'ideale generato dal polinomio $x 2 + 1$ :

$\mathbb{C} = \mathbb{R}[ x ] / (x^2 + 1).$

Questo è effettivamente un campo perché $x 2 + 1$ è irriducibile. L'immagine del polinomio $x$ in questo anello quoziente è l'unità immaginaria $i$ .

[modifica] Geometria

Per approfondire, vedi le voci Rappresentazione dei numeri complessi e Piano complesso.

Un numero complesso può essere visto come un punto del piano cartesiano. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand. Nella figura si vede che

$z = x + iy = r (\cos \varphi + i\sin \varphi ).$

Le formule inverse per $x > 0$ sono:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\varphi = \arctan \frac{y}{x}$

Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere $z$ come

$z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}$

tramite la funzione esponenziale. Qui $r$ è il modulo (o valore assoluto) e $\varphi$ è l'argomento di $z$ . L'argomento è determinato da $z$ se è inteso nell'intervallo $[0,2π)$ , altrimenti è definito solo a meno di somme con $2 k π$ per qualche intero $k$ .

[modifica] Operazioni con i numeri complessi

[modifica] Valore assoluto e distanza

$| z | = \sqrt{x^2 + y^2}\,\!$

Il valore assoluto ha le proprietà seguenti:

$| z + w | \leq | z | + | w |,\,\!$

$| z w | = | z | | w |,\,\!$

$| z / w | = | z | / | w | \,\!$ se $w \neq 0$ ,

valide per tutti i numeri complessi $z$ e $w$ .

La distanza fra due punti del piano complesso è data semplicemente da

$d(z, w) =|z - w| \,\!$ .

[modifica] Coniugato

Per approfondire, vedi la voce Complesso coniugato.

Il complesso coniugato del numero complesso $z = a + i b$ è definito come

$\bar z = a-ib.$

A volte è anche indicato come $z *$ . Nel piano complesso $\bar{z}$ è ottenuto specchiando $z$ rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:

$\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w},$

$\overline{zw} = \bar{z}\bar{w},$

$\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w},$

$\bar{\bar{z}}=z,$

$\bar{z}=z \Leftrightarrow z\in\R,$

$|z|=|\bar{z}|,$

$|z|^2 = z\bar{z},$

[modifica] Inverso

Per approfondire, vedi la voce Inverso di un numero complesso.

Conoscendo il valore assoluto ed il coniugato di un numero complesso $z \neq 0$ è possibile calcolare il suo inverso $z - 1$ attraverso la formula:

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$

Ovvero, se $z = a + i b$ otteniamo

$z^{-1} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}.$

[modifica] Somma algebrica

Valgono le relazioni

(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d),

(a + i b) - (c + i d) = (a - c) + i (b - d).

La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso.

[modifica] Prodotto

Vale

(a + i b)(c + i d) = a c - b d + i (b c + a d)

Usando la rappresentazione

z = r e i θ

e le proprietà della funzione esponenziale, il prodotto di due numeri complessi

$z_1 = r_1 e^{i \theta_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i \theta_2}$

assume la forma più agevole

$z_1\cdot z_2 = r_1 e^{i \theta_1} \cdot r_2 e^{i \theta_2} = r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}.$

In altre parole, nel prodotto di due numeri complessi, si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli.

Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea rotazione e omotetia. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento $i$ produce una rotazione di 90° del numero complesso di partenza. Ovviamente la moltiplicazione per $i$ e poi ancora per $i$ produce una rotazione di 180°; ciò è logico visto che $i 2 = - 1$ : in effetti se il numero di partenza era reale, dopo le due moltiplicazioni si ottiene lo stesso numero cambiato di segno.

[modifica] Rapporto

Il rapporto fra due numeri complessi $z 1 = a 1 + b 1 i$ e $z 2 = a 2 + b 2 i$ è dato da:

${z_1 \over z_2} = {a_1+b_1i \over a_2+b_2i} = {(a_1+b_1i) \over (a_2+b_2i)}{(a_2-b_2i) \over (a_2-b_2i)}= \frac{a_1a_2+b_1b_2+(a_2b_1-a_1b_2)i}{a_2^2+b_2^2}.$

Usando la rappresentazione

z = r e i θ,

il rapporto di due numeri complessi è

$\frac{r_1 e^{i \theta_1}} {r_2 e^{i \theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)}.$

[modifica] Potenze

Rappresentando ogni numero complesso come

z = r e i θ

è facile descrivere la potenza $n$ -esima

z n = r n e n i θ

per ogni $n$ intero. Con una notazione lievemente differente:

z = | z | (c o s θ + i s e n θ)

z n = | z | n (c o s (n θ) + i s e n (n θ))

(formula di De Moivre)

La potenza di un numero complesso non ha senso se $n$ non è intero. Inoltre, ogni numero complesso ha esattamente $n$ radici n-esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la radice quadrata di un numero complesso.

Per approfondire, vedi la voce Radice dell'unità.

[modifica] Alcune proprietà

[modifica] Perdita dell'ordinamento

Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche. Non è cioè possibile definire un ordine tale che

$a<b, s>0 \Rightarrow as<bs,$

$a<b, s<0 \Rightarrow as>bs,$

$a<b \Rightarrow a+c<b+c$

come avviene con i numeri reali. Quindi non ha senso chiedere ad esempio se $i$ è maggiore o minore di 1, né studiare disequazioni nel campo complesso.

[modifica] Spazio dei vettori reali

C è contemporaneamente uno spazio vettoriale complesso ad una dimensione (come tutti i campi), ed uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. In quanto spazio vettoriale reale a dimensione finita è inoltre uno spazio normato completo, cioè uno spazio di Banach, e più in particolare uno spazio di Hilbert. Si dimostra di seguito che se $\mathbb{C}$ è munito della consueta metrica euclidea, allora è uno spazio metrico completo.

Dimostrazione della completezza

Teorema: Sia $d:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\longrightarrow[0,+\infty[$ la metrica definita da $d (z, w) = | z - w |$ . Allora $(\mathbb{C},d)$ è uno spazio metrico completo.

Dimostrazione: Sia $(z_j)_{j\in\N}$ una successione di Cauchy in $\mathbb{C}$ . Ovvero, $\forall \;\epsilon<0\;\; \exists N_\epsilon$ tale che

$d(z_m,z_n)\leq{\epsilon} \;\;\;\;\;\forall m,n \ge N_\epsilon$

i.e. $|z_m-z_n|\leq \epsilon$

Posto $(z_j=x_j+iy_j)_{j \in \N}$ e ricordato che $|\Re(z)|\leq|z|$ si ha che

$|x_m-x_n|\leq|z_m-z_n|\leq\epsilon$

cioè che $(x_j)_{j \in \N}$ è una successione di Cauchy in $\R$ .

Similmente, ricordando che $|\Im(z)|\leq|z|$ si ha che

$|y_m-y_n|\leq|z_m-z_n|\leq\epsilon$

cioè che $(y_j)_{j \in \N}$ è una successione di Cauchy in $\R$ .

Poiché $\R$ è completo, si ha che $(x_j)_{j\in\N}$ e $(y_j)_{j\in\N}$ sono convergenti.

Pertanto, se $z = x + i y$ e

$lim_{j\rightarrow+\infty} x_j = x \;\;\;\;\; lim_{j\rightarrow+\infty} y_j = y$

si ha che $lim_{j\rightarrow+\infty} z_j = z$ , il che afferma che $(z_j)_{j\in \N}$ è convergente.

Questo dimostra che $(\mathbb{C},d)$ è uno spazio metrico completo.

[modifica] Soluzioni delle equazioni polinomiali

Per approfondire, vedi la voce Teorema fondamentale dell'algebra.

Una radice complessa di un polinomio p a coefficienti reali è un numero complesso z tale che p(z)=0. Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado n ha esattamente n soluzioni complesse, contate con molteplicità. Questo risultato indica che i numeri complessi sono (a differenza dei reali) un campo algebricamente chiuso.

[modifica] Analisi complessa

Lo studio delle funzioni con variabili complesse è chiamata analisi complessa ed è usatissima nella matematica applicata e nella teoria dei numeri oltre che in altre branche della matematica. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'analisi reale o persino della teoria dei numeri impiegano tecniche di analisi complessa (vedi teorema dei numeri primi per un esempio). Diversamente delle funzioni reali che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro dimensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore rappresenta la dimensione mancante. Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.

[modifica] Applicazioni

[modifica] In matematica

I numeri complessi sono presenti in tutta la matematica, e sono protagonisti di interi settori, come l'analisi complessa o la geometria algebrica. Elenchiamo qui soltanto alcune applicazioni dei numeri complessi a settori della matematica in cui questi non hanno un ruolo dominante.

Teoria dei numeri: La teoria dei numeri analitica usa l'analisi complessa per affrontare problemi sui numeri interi. Alcuni esempi sono il teorema dei numeri primi e la collegata ipotesi di Riemann.

Integrali impropri: Alcuni integrali impropri possono essere risolti agevolmente con il teorema dei residui dell'analisi complessa.

Equazioni differenziali: Le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti si risolvono trovando le radici complesse di un polinomio associato all'equazione.

Frattali: Alcuni frattali sono definiti tramite i numeri complessi, per esempio l'insieme di Mandelbrot e l'insieme di Julia.

[modifica] In fisica

Dinamica dei fluidi: Nella dinamica dei fluidi i numeri complessi vengono utilizzati per descrivere il flusso potenziale in 2 dimensioni.

Meccanica Quantistica: Il campo dei numeri complessi è una componente essenziale della meccanica quantistica dato che la teoria è sviluppata in uno spazio di Hilbert a dimensione infinita derivato da C. L'unità immaginaria compare anche nell'equazione di Schrödinger.

Relatività: Nella relatività generale e relatività speciale alcune formule dello spazio metrico diventano più semplici se si suppone la variabile temporale come una variabile immaginaria.

[modifica] Ingegneria

[modifica] Analisi dei segnali

I numeri complessi vengono utilizzati nell'analisi dei segnali e in tutti i campi dove si trattano segnali che variano sinusoidalmente nel tempo, o anche semplicemente periodici. Il valore assoluto di |z| è interpretato come la ampiezza del segnale mentre l'argomento di z è interpretato come la fase. I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che rende possibile scomporre un generico segnale tempo-variante in una somma di infinite sinusoidi: ogni sinusoide è scritta come un singolo numero complesso

$f ( t ) = z e^{i\omega t} \,$

dove ω è la pulsazione della sinusoide e z la sua ampiezza.

Nell'ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare il voltaggio e la corrente. L'analisi dei componenti resistivi, capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza, semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo, stabilivano j = -i, cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. La cosa non creò problemi né agli ingegneri né ai matematici, che non lavoravano praticamente mai insieme; a volte tuttavia i fisici si trovarono a dover correggere strani errori di segno nei loro calcoli, se usavano formule prese da libri di elettrotecnica. Attualmente, la stragrande maggioranza delle volte con j ormai nella letteratura tecnica si intende l'unità immaginaria stessa, per cui j=i

[modifica] Bibliografia

(EN) An Imaginary Tale, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0691027951 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa .

[modifica] Voci correlate

[modifica] Altri progetti

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Algebra

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