Insieme di Julia

Un insieme di Julia

In analisi complessa, l'insieme di Julia di una funzione olomorfa consiste di tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione è caotico, nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.

Il complementare dell'insieme di Julia nel piano complesso si chiama insieme di Fatou: è l'insieme dei punti il cui comportamento (sempre in seguito a ripetute iterazioni della funzione) è più stabile.

I nomi per questi insiemi si riferiscono ai matematici francesi Gaston Julia e Pierre Fatou, che iniziarono a studiare la dinamica delle funzioni olomorfe all'inizio del XX secolo, considerando il caso delle iterazioni di funzioni razionali.

Polinomi quadratici

Alcuni insiemi di Julia al variare di c nell'insieme di Mandelbrot

Consideriamo ad esempio la funzione olomorfa, dipendente da un parametro complesso c:

f_c(z) = z² + c

L'insieme di tutti i valori c per cui l'insieme di Julia di f_c è connesso forma il celebre insieme di Mandelbrot. Se c è fuori di questo insieme, l'insieme di Julia risulta essere omeomorfo all'insieme di Cantor

Esempi

Tramite un calcolatore è possibile rappresentare la dinamica delle iterazioni. Qui di seguito viene rappresentata la dinamica dell'iterazione $z \rightarrow z^2+c$ per i valori

$c= \phi-2,\ \phi-2+(\phi-1)i,\ 0.285$

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e quindi per

$c= 0.285 + 0.013i,\ 0.45 -0.1428i,\ -0.70176 -0.3842i,\ -0.835-0.2321i.$

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Curiosità

Come spesso succede in matematica, Julia e Fatou furono rivali, sviluppando contemporaneamente la teoria delle iterazioni razionali. Per ironia della sorte, oggi il loro nome viene portato da due insiemi complementari.

Bibliografia

• (EN) Lennart Carleson and Theodore W. Gamelin, Complex Dynamics, Springer 1993
• (FR) Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
• (EN) John Milnor, Dynamics in One Complex Variable (terza edizione), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (comparso come preprint a Stony Brook nel 1990], disponibile come arXiV:math.DS/9201272.)

Altri progetti

• Commons

• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Insieme di Julia

Collegamenti esterni

• Programma in C per creare l'insieme di Julia.
• Un piccolo programma per creare l'insieme di Julia (Windows, 370 kb)

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