Numero

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In matematica, un numero è un modo di esprimere sia una quantità, sia la posizione in un elenco di elementi, sia il rapporto tra grandezze dello stesso tipo.[1] Storicamente il concetto di numero nasce, con la storia dell'uomo, per motivi pratici legati alla necessità del conteggio, quindi come astrazione simbolica del concetto di quantità, inizialmente realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi diversi.

Si definisce operazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.

Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto matematico di campo.

Tipi di numeri[modifica | modifica sorgente]

Diagramma di Venn di alcuni insiemi numerici notevoli

Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di classi più ampie di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.

Numeri naturali[modifica | modifica sorgente]

Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici, tra cui i numeri naturali, che sono:

 1, 2, 3, 4 \ldots

I numeri naturali (il cui insieme è indicato con il simbolo \mathbb{N}) sono usati per contare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è comunque previsto dagli assiomi di Peano.

L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata, ed ogni numero è generalmente descritto tramite una o più cifre.

Numeri interi relativi[modifica | modifica sorgente]

Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce la differenza di segno (e lo zero se non già incluso tra i numeri naturali), distinguendo tra numeri positivi e numeri negativi, si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente interi), il cui insieme è indicato con il simbolo \mathbb{Z}. I numeri interi sono:

 \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots

Numeri razionali[modifica | modifica sorgente]

Se a partire dai numeri interi si costruiscono i numeri dati dal loro rapporto, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione (ratio in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:

\frac 23, -\frac 74, \frac {11}{17}, \ldots

L'insieme di tutti i numeri razionali è solitamente indicato col simbolo \mathbb{Q}.

Numeri algebrici[modifica | modifica sorgente]

I numeri algebrici sono tutti i numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono tutti algebrici, ma molti numeri algebrici non sono razionali. Ad esempio:

\sqrt{2}, \sqrt[3]5, \sqrt{ \frac {\sqrt 3}{11}}

sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione.

Un numero non algebrico è detto trascendente. Ad esempio, \pi (pi greco) ed e sono trascendenti: non è possibile ottenere \pi come radice di un polinomio a coefficienti interi.

Numeri reali[modifica | modifica sorgente]

L'insieme dei numeri reali comprende tutti i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono tutti i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.

L'insieme dei numeri reali è simboleggiato con \mathbb{R}.

Numeri computabili[modifica | modifica sorgente]

Sono i numeri reali esprimibili con una notazione posizionale in una qualche base e sono costituiti da una sequenza finita di cifre o da una successione illimitata di cifre che può essere generata da una procedura ben definita in grado di operare illimitatamente.

Numeri complessi[modifica | modifica sorgente]

L'insieme dei numeri reali non è sufficiente a fornire tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:

x^2 = -1

non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché in questo insieme il quadrato di un numero è sempre positivo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria  i , tale che:

i^2 = -1.

Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, bensì all'insieme dei numeri complessi. Più in generale, un numero complesso è una espressione del tipo:

a+bi

dove i è l'unità immaginaria e a,b sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato con il simbolo \mathbb{C}.

Gli insiemi numerici seguenti sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo \sub indica l'inclusione stretta):

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

Quaternioni[modifica | modifica sorgente]

I numeri complessi sono stati estesi a loro volta, ottenendo i quaternioni, ma la moltiplicazione dei quaternioni non è dotata della proprietà commutativa.

Ottonioni[modifica | modifica sorgente]

Gli ottonioni, a loro volta, estendono i quaternioni, ma questa volta, si perde la proprietà associativa. Infatti, gli unici sistemi associativi con dimensione finita oltre ai reali sono i quaternioni e i numeri complessi.

Notazione[modifica | modifica sorgente]

I numeri vanno distinti dai nomi utilizzati per indicare i numeri, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono sempre gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.

Estensioni[modifica | modifica sorgente]

Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri sono stati i numeri iperreali e i numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi fino ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre (normalmente) i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri anche a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire degli insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.

Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta, che contiene i concetti di gruppo, anello e campo.

Somiglianze nelle varie culture[modifica | modifica sorgente]

In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti tsu o hêng, cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le bacchette da calcolo, che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.

Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto, e cinque meno uno fa quattro. Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un evidente vantaggio antropomorfico, la mano ha cinque dita ma vi era anche una motivazione nascosta che coinvolgeva il nostro cervello. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: infatti provate con uno sguardo a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice dirlo se scritti come IX e X.

Il sistema adottato adesso in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche di numerazione araba, che in realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva a sua volta dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono delle varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza dover alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida ma comunque conservano l'idea della linea orizzontale, mentre col simbolo 4 la corrispondenza si perde.

Scrittura occidentale, araba e indiana delle cifre da 0 a 9

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Enciclopedia Treccani - Numero. URL consultato il 26 luglio 2011.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Numeri particolari

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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