Gruppo dei quaternioni

In matematica, e specialmente in teoria dei gruppi, il gruppo dei quaternioni (spesso indicato con $Q_8$) è il gruppo formato dagli otto elementi {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} caratteristici del corpo dei quaternioni. Essi sono legati dalle relazioni

$i^2=j^2=k^2=-1$

$ij=k,~ji=-k$

$ik=-j,~ki=j$

$jk=i,~kj=-i$

È ovviamente non abeliano e generato da i, j e k; inoltre è il più piccolo gruppo non abeliano in cui tutti i sottogruppi sono normali (un gruppo di questo tipo è detto hamiltoniano), e il più piccolo gruppo non abeliano il cui ordine è la potenza di un primo. È anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo (quello col minor numero di elementi è il gruppo simmetrico $S_3$, con 6 elementi).

Tutti i suoi sottogruppi (diversi dal solo elemento neutro) si intersecano in modo non banale nel sottogruppo {1, -1}, che è anche il centro del gruppo. Questo implica che $Q_8$ non è né un prodotto diretto né un prodotto semidiretto di gruppi più piccoli.

Il gruppo degli automorfismi di $Q_8$ è il gruppo simmetrico $S_4$, mentre quello degli automorfismi interni è il gruppo di Klein.

Rappresentazione mediante matrici

Il gruppo dei quaternioni può anche essere visto come un sottogruppo di $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ (cioè della matrici invertibili a valori complessi) tramite l'isomorfismo

$i \mapsto \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \qquad j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad k \mapsto \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

Voci correlate

• Quaternione

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