Gruppo dei quaternioni

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In matematica, e specialmente in teoria dei gruppi, il gruppo dei quaternioni (spesso indicato con Q_8) è il gruppo formato dagli otto elementi {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} caratteristici del corpo dei quaternioni. Essi sono legati dalle relazioni

i^2=j^2=k^2=-1
ij=k,~ji=-k
ik=-j,~ki=j
jk=i,~kj=-i

È ovviamente non abeliano e generato da i, j e k; inoltre è il più piccolo gruppo non abeliano in cui tutti i sottogruppi sono normali (un gruppo di questo tipo è detto hamiltoniano), e il più piccolo gruppo non abeliano il cui ordine è la potenza di un primo. È anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo (quello col minor numero di elementi è il gruppo simmetrico S_3, con 6 elementi).

Tutti i suoi sottogruppi (diversi dal solo elemento neutro) si intersecano in modo non banale nel sottogruppo {1, -1}, che è anche il centro del gruppo. Questo implica che Q_8 non è né un prodotto diretto né un prodotto semidiretto di gruppi più piccoli.

Il gruppo degli automorfismi di Q_8 è il gruppo simmetrico S_4, mentre quello degli automorfismi interni è il gruppo di Klein.

Rappresentazione mediante matrici[modifica | modifica sorgente]

Il gruppo dei quaternioni può anche essere visto come un sottogruppo di \mathrm{GL}_2(\mathbb{C}) (cioè della matrici invertibili a valori complessi) tramite l'isomorfismo

i \mapsto \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, 
\qquad j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},
\qquad k \mapsto \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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