Centro di un gruppo

In matematica, dato un gruppo G, il centro di G è il sottoinsieme di G così definito:

$C:= \{ c | gc = cg \mbox{ per ogni elemento }g \in G\}$

Si tratta perciò degli elementi di G che commutano con tutti gli elementi di G (compresi quelli non appartenenti a C).^[1]

Se G è un gruppo abeliano, chiaramente, C = G.

C è un sottogruppo abeliano ed anche un sottogruppo normale di G: infatti, presi c appartenente a C e g elemento di G, gc = cg implica $gcg^{-1} = cgg^{-1} = c1_G = c$ . Questa proprietà permette sempre di costruire il gruppo quoziente G/C.

Esempi [modifica]

Consideriamo il gruppo $M(n,\mathbb{R})$ delle matrici quadrate invertibili di ordine n ad elementi reali, munite dell'usuale prodotto righe per colonne. Il centro di questo gruppo è dato dai multipli dell'unità $\lambda I$ , cioè dalle matrici diagonali con tutti elementi uguali sulla diagonale. Nel passare al quoziente, vengono identificate le matrici A e B tali che esista un λ reale per cui valga A = λB. I multipli dell'unità vengono quindi identificati con l'elemento unità, che resta il solo a commutare con tutto il resto del gruppo, questo non impedisce che due matrici arbitrarie possano comunque commutare tra di loro.