Sottogruppo di Frattini

In algebra, e più precisamente in teoria dei gruppi, il sottogruppo di Frattini $\Phi (G)$ di un gruppo $G$ è l'intersezione di $G$ e di tutti i sottogruppi propri massimali di $G.$ In particolare, secondo la definizione, se $G$ non ha sottogruppi propri massimali allora $\Phi (G)$ coincide con $G$ stesso. È simile al radicale di Jacobson che si incontra nella teoria degli anelli. Intuitivamente può essere pensato come il sottogruppo di "piccoli elementi", infatti è caratterizzato dall'essere l'insieme di tutti i "non generatori" di $G.$

Il suo nome deriva da Giovanni Frattini, che ne definì il concetto in un lavoro pubblicato nel 1885.

Proprietà

• $\Phi (G)$ coincide con l'insieme di tutti i "non generatori" di $G$. (Un elemento $a\in G$ è un non generatore se può essere sempre rimosso da un insieme di generatori del gruppo senza che quest'ultimo perda tale qualità; cioè $a$ è tale che per ogni $X$ insieme generatore di $G,$ si ha che $X\setminus \{a\}$ è ancora un insieme generatore di G.)
• $\Phi (G)$ è sempre un sottogruppo caratteristico di $G;$ in particolare, è sempre un sottogruppo normale di $G$).
• Se $G$ è un gruppo finito, allora $\Phi (G)$ è un gruppo nilpotente.
• Se $G$ è un p-gruppo, allora $\Phi (G)=G^{p}[G,G].$ Così il sottogruppo di Frattini, rispetto all'inclusione, è il più piccolo sottogruppo normale $N$ tale che il gruppo quoziente $G/N$ è un $p$-gruppo abeliano elementare, il che equivale a dire isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici di ordine $p.$ Inoltre, se il gruppo quoziente $G/\Phi (G)$ (chiamato anche il quoziente (o fattore) di Frattini di $G$) ha ordine $p^{k},$ allora $k$ è il più piccolo numero di generatori di $G$ (cioè la minima cardinalità per un insieme di generatori di $G$). In particolare, un p-gruppo finito è ciclico se e solo se il suo quoziente di Frattini è ciclico (di ordine $p$). Un $p$-gruppo è un gruppo abeliano elementare se e solo se il suo sottogruppo di Frattini è il gruppo banale.

Esempio

Un esempio di gruppo con sottogruppo di Frattini non banale è un gruppo ciclico di ordine $p^{2},$ con $p$ numero primo. Se indichiamo con $G$ il gruppo ciclico e con $a$ un suo generatore, allora si ha $\Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle$.

Voci correlate

• Argomento di Frattini

Collegamenti esterni

• (EN) Da PlanetMath:
  • «Frattini subgroup» Archiviato il 15 giugno 2010 in Internet Archive. (definizioni alternative)
  • «Frattini subset», su planetmath.org. URL consultato il 3 ottobre 2009 (archiviato dall'url originale il 15 giugno 2010).
  • «The Frattini subgroup of a finite group is nilpotent» Archiviato il 30 maggio 2009 in Internet Archive. (dimostrazione)
• (EN) Eric W. Weisstein, "Frattini Subgroup", da MathWorld—A Wolfram Web Resource
• (FR) Hailé Béréda, «Sur une classe de p-groupes» Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 5^ième série, Tome 4, N. 2, p 191-194