Somma diretta

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In algebra, la somma diretta è una costruzione tra moduli che restituisce un modulo più grande. Ad esempio, la somma diretta di due gruppi abeliani A e B è un gruppo abeliano A\oplus B formato da tutte le coppie ordinate (a,b) con a \in A e b \in B. In particolare, il prodotto cartesiano di A e B è caratterizzato con una struttura di gruppo abeliano definendo la somma tra coppie ordinate (a, b) + (c, d) come (a + c, b + d) e la moltiplicazione come n(a, b) = (na, nb) per n intero. Costruzioni simili consentono di caratterizzare la somma diretta tra varie strutture algebriche come moduli, anelli o sottospazi vettoriali. La somma diretta può essere anche definita tra più addendi, ad esempio A \oplus \! B \oplus C.

Nel caso di un numero finito di addendi la somma diretta tra gruppi abeliani è un prodotto diretto, mentre nel caso di infiniti addendi molti autori fanno una distinzione: un elemento di una somma diretta ha tutte le componenti nulle tranne che per un numero finito di esse, mentre un elemento di un prodotto diretto può avere tutte le componenti diverse da zero.

Spazi vettoriali[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio vettoriale  V si definisce somma diretta dei sottospazi  U e  W se ogni elemento  \mathbf v \in V si può scrivere in maniera unica nel seguente modo:[1]

\mathbf v = \mathbf u + \mathbf w

con  \mathbf u \in U e  \mathbf w \in W. La dimensione di  V è inoltre pari alla somma algebrica delle dimensioni di  U e  W .[2]

Una condizione necessaria e sufficiente affinché i due sottospazi siano in somma diretta è che V = U + W e la loro intersezione sia il vettore nullo:

 U \cap W =\{\mathbf 0 \}

Questo si estende a famiglie di un qualsiasi numero di sottospazi.

Si dice inoltre che  V si decompone in somma diretta di  U e  W e si scrive:

 V = U \oplus W

Per la formula di Grassmann, due spazi sono in somma diretta se e solo se:[3]

 \dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W)

Quando due spazi non sono in somma diretta, il termine a sinistra è strettamente minore di quello a destra.

Componenti e proiezione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Proiezione (geometria).

Se  U e  W sono in somma diretta, ogni elemento  \mathbf z del sottospazio somma  U+W si scrive unicamente come:

\mathbf z = \mathbf u+\mathbf w

dove \mathbf u e \mathbf w sono elementi rispettivamente di  U e  W . Gli elementi \mathbf u e \mathbf w sono detti componenti di \mathbf z lungo i due sottospazi. Grazie all'unicità di queste, è possibile definire due proiezioni:

p_U:U+W \to U \qquad p_W:U+W\to W

semplicemente ponendo:

p_U(\mathbf z) =\mathbf u \qquad p_W(\mathbf z) =\mathbf w

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio  M(n) delle matrici quadrate  n\times n a coefficienti in un campo K si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche:

 M(n) = S(n) \oplus A(n)

Le dimensioni relative dei sottospazi sono:

 n^2 = \frac{n(n+1)}2 + \frac {n(n-1)}2

e le rispettive proiezioni sono:

p_U(M) = \frac{M+M^t}2 \qquad p_W(M) = \frac{M-M^t}2

Tali operatori di proiezione permettono di decomporre ogni matrice nella somma di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica:

 M = \frac{M+M^t}2 + \frac{M-M^t}2

e inoltre:

 \left(\frac{M+M^t}2\right)^t = \frac{M^t+(M^t)^t}2 = \frac{M^t+M}2 = \frac{M+M^t}2

mostra che la matrice  p_U(M) è effettivamente simmetrica (perché uguale alla sua trasposta: si verifica analogamente che  p_W(M) è antisimmetrica).

Somma diretta tra moduli[modifica | modifica sorgente]

La somma diretta di gruppi abeliani e la somma diretta di spazi vettoriali sono casi particolari della costruzione della somma diretta tra moduli.

Sia R un anello e \{ M_i : i \in I \} una famiglia di R-moduli sinistri indicizzata dall'insieme I. La somma diretta dei moduli \{ M_i \} è definita come l'insieme di tutte le successioni (\alpha_i) con \alpha_i \in M_i e \alpha_i = 0 per un sottoinsieme cofinito di indici i (cioè per tutti gli indici ad eccezione di un insieme finito). Si può anche definire come le funzioni \alpha da I a valori nell'unione disgiunta dei moduli M_i tali che \alpha(i) \in M_i per ogni i \in I e \alpha(i) =0 per un sottoinsieme cofinito di indici i.

Due successioni (o funzioni) \alpha e \beta possono essere sommate scrivendo (\alpha + \beta)_i = \alpha_i + \beta_i per ogni i (tale successione è ancora nulla tranne che per un numero finito di elementi), ed una successione \alpha può essere moltiplicata per un elemento r dell'anello R definendo r(\alpha)_i = (r\alpha)_i per ogni i. In questo modo la somma diretta diventa un R-modulo sinistro, denotato con:

 \bigoplus_{i \in I} M_i

Solitamente si denota la successione (\alpha_i) anche come una somma  \Sigma \alpha_i.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • La somma diretta dei moduli M_i è un sottomodulo del prodotto diretto dei moduli M_i. Il prodotto diretto è l'insieme delle funzioni \alpha definite su I a valori nell'unione disgiunta dei moduli M_i tali che \alpha(i)\in M_i, ma non si annulla necessariamente per tutti gli indici i tranne un numero finito di essi (come avviene per la somma diretta). Se I è finito somma diretta e prodotto diretto si equivalgono. Se si identifica ognuno dei moduli M_i con il sottomodulo della somma diretta costituito da tutte le funzioni che si annullano per tutti gli indici tranne l'i-esimo, ogni elemento x della somma diretta può essere scritto in modo unico come una somma di finiti elementi dei moduli M_i.
  • Le somme dirette sono commutative e associative, nel senso che l'ordine in cui sono formate è ininfluente.
  • Il gruppo degli omomorfismi R-lineari definiti dalla somma diretta a qualche R-modulo sinistro L è isomorfo in modo naturale al prodotto diretto dei gruppi di omomorfismi R-lineari definiti da M_i a L:
\operatorname{Hom}_R\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatorname{Hom}_R\left(M_i,L\right)
Quindi, vi è un omomorfismo \tau dal membro sinistro al membro destro della relazione: \tau(\theta)(i) è l'omomorfismo R-lineare che manda x \in M_i \to \theta(x) (sfruttando l'inclusione naturale di M_i nella somma diretta). L'omomorfismo inverso di \tau è definito come:
 \tau^{-1}(\beta)(\alpha) = \sum_{i\in I} \beta(i)(\alpha(i))
per ogni \alpha nella somma diretta dei moduli M_i. Si nota che la definizione di \tau^{-1} ha senso in quanto \alpha(i) è nulla per tutti gli i tranne che un numero finito, e quindi la somma è finita. In particolare, lo spazio duale della somma diretta di spazi vettoriali è isomorfo al prodotto diretto dei duali di tali spazi.
  • La somma diretta finita di moduli è un biprodotto. Infatti, se:
p_k: A_1 \oplus \cdots \oplus A_n \to A_k
sono le mappe di proiezione canoniche e:
i_k: A_k \mapsto A_1 \oplus \cdots \oplus A_n
sono le mappe di inclusione, allora:
i_1 \circ p_1 + \cdots + i_n \circ p_n
è uguale al morfismo identità di A_1 \oplus \cdots \oplus A_n, mentre:
p_k \circ i_l
è il morfismo identità di A_k nel caso l=k, ed è la mappa nulla altrimenti.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 52
  2. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 53
  3. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 46

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, 1962.
  • (EN) Rosen, K. H. (Ed.). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, FL: CRC Press, 2000.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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