Endomorfismo di Frobenius

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In algebra astratta, l'endomorfismo di Frobenius è uno speciale omomorfismo di anelli, definito solo per anelli con caratteristica positiva. Prende il nome da Ferdinand Georg Frobenius. La sua definizione si basa su di un teorema che afferma che:

Se A è un anello commutativo con caratteristica p, con p numero primo, allora (a+b)^p = a^p + b^p, per ogni a e b appartenenti ad A.

cioè che l'applicazione

F(a)=a^p

preserva l'operazione di somma. Dopotutto, essa soddisfa anche le proprietà F(ab)=F(a)F(b) e F(1)=1, dunque si caratterizza come un endomorfismo di A in sé ed è pertanto detta endomorfismo di Frobenius.

Dimostrazione del teorema[modifica | modifica sorgente]

Per il teorema binomiale vale che

(a+b)^p_{} = \sum_{k=0}^p {p \choose k} a^{n-k} b^{k}

Ma se 0 < k < p, il coefficiente {p \choose k} contiene il fattore p e dunque in caratteristica p è uguale a 0. Pertanto rimangono solo i termini finali dell'espansione, cioè a^p e b^p.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  1. Sia A un anello con caratteristica 2:
    (3+2)^2 = 5^2 = 25 e 3^2 + 2^2 = 9+4 = 13
    Essendo un anello con caratteristica 2, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:
    25 \mod 2 = 13 \mod 2 = 1
  2. Sia A un anello con caratteristica 3:
    (4+3)^3 = 7^3 = 343 e 4^3 + 3^3 = 64 + 27 = 91
    Essendo un anello con caratteristica 3, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:
    343 \mod 3 = 91 \mod 3 = 1
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