Omomorfismo di gruppi

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In matematica, e più precisamente in algebra, un omomorfismo di gruppi è un tipo di funzione fra gruppi che ne preserva le operazioni. Questo concetto identifica quindi quali sono le funzioni "interessanti" nella teoria dei gruppi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dati due gruppi (G, *) e (H, °), una funzione f : GH è un omomorfismo se

f(a * b) = f(a) ° f(b) per ogni a e b appartenenti a G.

L'insieme degli omomorfismi da G ad H si indica con Hom(G, H). La funzione f è inoltre detta monomorfismo se è iniettiva, epimorfismo se è suriettiva e isomorfismo se è biiettiva.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Dati due gruppi qualsiasi G e H, l'omomorfismo banale f : GH è l'omomorfismo che assegna ad ogni elemento g di G l'elemento neutro f(g) = e di H. L'identità id : GG è un altro esempio immediato.

Il determinante di una matrice quadrata a coefficienti in un campo è, grazie al teorema di Binet, un esempio di omomorfismo tra il gruppo delle matrici quadrate invertibili con l'operazione di prodotto tra matrici e il gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli del campo.

Nel campo dell'analisi matematica, la funzione esponenziale è un omomorfismo tra i reali con l'addizione e i reali positivi con la moltiplicazione.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Dalla definizione si deduce subito che f manda l'elemento neutro di G nell'elemento neutro di H. Si deduce inoltre che f(a-1) = f(a)-1. Diciamo quindi che f è compatibile con la struttura di gruppo, perché preserva elementi neutri ed inversi.
  • Nel caso in cui H sia un gruppo abeliano, l'insieme Hom(G, H) può essere munito in modo naturale di una struttura di gruppo con l'operazione di moltiplicazione così definita: dati due omomorfismi f e g, la loro composizione f * g è la funzione che manda a in f(a) * g(a): si verifica che anche f * g è un omomorfismo.
  • Se G e H sono abeliani, il gruppo Hom(G, H) è anch'esso abeliano.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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