Omomorfismo di gruppi

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In matematica, e più precisamente in algebra, un omomorfismo di gruppi è un tipo di funzione fra gruppi che ne preserva le operazioni. Questo concetto identifica quindi quali sono le funzioni "interessanti" nella teoria dei gruppi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dati due gruppi (G,\cdot) e (H,\circ), una funzione f:G\longrightarrow H è un omomorfismo se

f(a\cdot b)=f(a)\circ f(b)

per ogni a e b appartenenti a G.

La funzione f è inoltre detta monomorfismo se è iniettiva, epimorfismo se è suriettiva e isomorfismo se è biiettiva.

L'insieme degli omomorfismi da G ad H si indica con \mathrm{Hom}(G,H).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Dati due gruppi qualsiasi G e H, l'omomorfismo banale f:G\longrightarrow H è l'omomorfismo che assegna ad ogni elemento g di G l'elemento neutro e_H di H. L'identità \mathrm{id}:G\longrightarrow G è un altro esempio immediato; allo stesso modo, se G è un sottogruppo di H, l'inclusione i:G\longrightarrow H è un omomorfismo.

Il determinante di una matrice quadrata a coefficienti in un campo è, grazie al teorema di Binet, un esempio di omomorfismo tra il gruppo delle matrici quadrate invertibili con l'operazione di prodotto tra matrici e il gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli del campo.

Nel campo dell'analisi matematica, la funzione esponenziale è un omomorfismo tra i reali con l'addizione e i reali positivi con la moltiplicazione.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Dalla definizione si deduce subito che f manda l'elemento neutro di G nell'elemento neutro di H. Si deduce inoltre che f(a^{-1})=f(a)^{-1}. Di conseguenza, si può dire che f è "compatibile con la struttura di gruppo", perché preserva elementi neutri ed inversi.
  • Nel caso in cui H sia un gruppo abeliano, l'insieme \mathrm{Hom}(G,H) può essere munito in modo naturale di una struttura di gruppo con l'operazione di moltiplicazione così definita: dati due omomorfismi f e g, la loro composizione f\ast g è la funzione che manda a in f(a)\circ g(a): si verifica che anche f\ast g è un omomorfismo. Se anche G è abeliano, inoltre, anche \mathrm{Hom}(G,H) è abeliano.
  • Il nucleo di f è definito come l'insieme di tutti gli elementi a di G tali che f(a) è l'elemento neutro di H. Esso è un sottogruppo normale di G; inoltre, ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo, ad esempio l'omomorfismo quoziente G\longrightarrow G/H.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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