Criterio di Eisenstein

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In algebra, il criterio di Eisenstein è un criterio per dimostrare l'irriducibilità di alcuni polinomi a coefficienti interi. Prende il nome dal matematico tedesco Gotthold Eisenstein.

Il criterio[modifica | modifica wikitesto]

Sia P(x) un polinomio primitivo a coefficienti interi

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_1x + a_0.

Il criterio di Eisenstein afferma che:

Se esiste un numero primo p tale che:

  • p non divide  a_n,
  • p divide  a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} ,
  • p^2 non divide  a_0,

Allora P(x) è irriducibile tra i polinomi a coefficienti interi.

In altre parole, se valgono le ipotesi non esistono due polinomi a coefficienti interi H(x) e G(x) e di grado almeno uno tali che

H(x) \cdot G(x)=P(x).

Per il lemma di Gauss, non esistono neppure due polinomi H(x) e G(x) a coefficienti razionali di grado almeno uno il cui prodotto è P(x).

Il criterio può essere generalizzato a qualsiasi dominio a fattorizzazione unica: basta sostituire alla nozione di numero primo quella di elemento primo.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo ad esempio il polinomio P(x)=3x^2+25x+10; a questo si può applicare il criterio a partire dal primo p=5, che divide 10 e 25, ma non 3; inoltre 5^2=25 non divide 10. Da questo si può dedurre che P(x) è irriducibile.

L'ultima condizione è importante: infatti se consideriamo il polinomio Q(x)=x^2+10x+25, questo verifica le prime due condizioni, ma non la terza, e non è irriducibile: esiste infatti la fattorizzazione Q(x)=(x+5)^2=(x+5)(x+5)

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo per assurdo che esistano due polinomi G(x) e H(x) che fattorizzano P(x) (dove P(x) verifica le ipotesi del criterio di Eisenstein), di grado rispettivamente g e h; scomponiamo quindi P(x) come

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_1x + a_0=(b_g x^g+b_{g-1}x^{g-1}+ \ldots + b_1x + b_0)(c_h x^h+c_{h-1}x^{h-1}+ \ldots + c_1x + c_0)

Abbiamo allora

a_0=b_0c_0 e quindi p|b_0 c_0 e p^2 \nmid b_0 c_0

da cui a meno di inversioni p|b_0 e p \nmid  c_0, continuiamo

p| b_0 c_1+b_1 c_0 per cui p|b_1

p| b_0 c_2+b_1 c_1 +b_2 c_0 per cui p|b_2

...

troviamo infine l'assurdo p|b_k e p|a_n.

Dimostrazione modulo p[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra dimostrazione può essere data usando il campo \mathbb{Z}_p delle congruenze modulo p.

Consideriamo il polinomio f(x) come un polinomio modulo p, riducendo i coefficienti; poiché p divide tutti i coefficienti escluso il primo, f(x) diventerà c\cdot x^n per una costante c non nulla. Poiché vale la fattorizzazione unica, ogni fattorizzazione di f(x) modulo p sarà in monomi. Ora, se f(x) fosse fattorizzabile, i suoi fattori g(x) e h(x), ridotti modulo p, sarebbero monomi, ovvero modulo p si avrebbe g(x)\equiv d \cdot x^r e h(x)\equiv e \cdot x^{n-r}, per opportune costanti d, e.

Ma allora p divide entrambi i termini noti di g(x) e h(x), e quindi p^2 divide il termine noto di f(x). Ma questo è assurdo perché avevamo supposto p^2\nmid a_0, e quindi f(x) non è fattorizzabile.