Gruppo unitario speciale

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In matematica, il gruppo unitario speciale di grado n, abbreviato con SU(n), è il gruppo delle matrici unitarie n \times n con determinante unitario. L'operazione interna al gruppo corrisponde alla moltiplicazione tra matrici. Il gruppo speciale unitario è un sottogruppo del gruppo unitario U(n), che include tutte le matrici unitarie n \times n, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale GL(n, C).

Il caso più semplice, ovvero SU(1), è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo SU(2) è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da SU(2) sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è {+I, −I}.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo speciale unitario SU(n) è un gruppo di Lie di dimensione n^2  - 1. Topologicamente, è compatto e semplicemente connesso. Da un punto di vista algebrico, è un gruppo di Lie semplice (ovvero la sua algebra è "semplice"). Il centro di SU(n) è isomorfo al gruppo ciclico Zn. Il suo gruppo di automorfismi esterni, per n \ge 3, è Z2, mentre quello di SU(2) è il gruppo banale.

Generatori[modifica | modifica wikitesto]

SU(2)[modifica | modifica wikitesto]

Per SU(2), i generatori sono proporzionali alle matrici di Pauli

\sigma_1 = 
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = 
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},\quad \sigma_3 = 
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.

SU(3)[modifica | modifica wikitesto]

L'analogo delle matrici di Pauli per SU(3) sono le matrici di Gell-Mann:

\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

I generatori di SU(3) T sono definiti dalla relazione

T_a = \frac{\lambda_a}{2} .

Questi soddisfano le relazioni

  • \left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c}
dove f è una costante di struttura che vale
f^{123} = 1
f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2}
f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2}
  • \operatorname{tr}(T_a) = 0

Algebra di Lie[modifica | modifica wikitesto]

L'algebra di Lie corrispondente a \mathrm{SU}(n) è solitamente denotata con \mathfrak{su}(n) ed è costituita da matrici complesse antihermitiane n \times n a traccia nulla, con un prodotto di Lie che è il normale commutatore. È importante notare che questa è un'algebra di Lie reale e non complessa, in base alla convenzione usata dai matematici. In fisica delle particelle, invece, viene spesso inserito il fattore i (l'unità immaginaria), ottenendo così un'equivalente algebra di matrici hermitiane. Per esempio

i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}
i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}

sono matrici utilizzate in meccanica quantistica da una base per \mathfrak{su}(2) su \mathbb{R}. Questa rappresentazione trova svariate applicazioni in meccanica quantistica, ad esempio nelle matrici di Pauli e di Gell-Mann, per la descrizione degli spin delle particelle fondamentali come gli elettroni. Sono indispensabili, come versori, per la rappresentazione matematica delle tre dimensioni spaziali nella relatività quantistica.

Si noti che il prodotto di due generatori diversi qualsiasi è a sua volta un generatore e che ciascuno anticommuta. Assieme alla matrice identità (moltiplicata per i),

 i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}

questi generatori generano anche l'algebra di Lie \mathfrak{u}(2).

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