Gruppo unitario

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Il gruppo unitario U(n) è l'insieme delle matrici unitarie n×n con l'operazione di moltiplicazione tra matrici. È un sottogruppo di \mathrm{GL}(n,\mathbb{C}), cioè il gruppo lineare generale delle matrici complesse invertibili.

Il sottoinsieme di esso che comprende solamente le matrici con determinante 1 è il gruppo unitario speciale, denotato con SU(n).

U(n) è un gruppo di Lie di dimensione n2.

Se n=1, allora U(n) è semplicemente l'insieme dei numeri complessi con norma pari a 1. Per n>1, invece, il gruppo non è commutativo; il suo centro è l'insieme aI, dove I è la matrice identità di ordine n e a è un qualunque scalare la cui norma è uguale a 1.

Matrice unitaria[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Matrice unitaria.

In matematica, una matrice unitaria n × n è una matrice complessa U che soddisfa la condizione:

U^+ U = U U^+ = I_n

dove In è la matrice identità n × n e U+ è la trasposta coniugata (ovvero la aggiunta hermitiana) della U. Si noti che la precedente uguaglianza equivale a dire che una matrice U è unitaria se possiede una inversa uguale alla sua coniugata trasposta U+.

Una matrice unitaria avente tutte le entrate reali è una matrice ortogonale.

Gruppo unitario speciale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo unitario speciale.

In matematica, il gruppo unitario speciale di grado n, abbreviato con SU(n), è il gruppo di n \times n matrici unitarie con determinante unitario. L'operazione interna al gruppo corrisponde alla moltiplicazione tra matrici. Il gruppo speciale unitario è un sottogruppo del gruppo unitario U(n), che include tutte le matrici unitarie n \times n, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale GL(n, C).

Il caso più semplice, ovvero SU(1), è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo SU(2) è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo nei confronti di un sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da SU(2) fino al gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è {+I, −I}.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]